[論文レビュー] Purification of Lindblad dynamics, geometry of mixed states and geometric phases

David Viennot|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2015

Nonlinear Photonic Systems参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、補助ヒルバート空間（アタッチ）を備えた拡大ヒルバート空間における非線形シュレーディンガー方程式を提案し、リンドブラッドダイナミクスを純化することで、その解の部分トレースが開系の密度行列の時間発展を再現することを保証する。この理論は、開系における幾何的位相を統一し、特にカテゴリカルな主 bundle と接続構造を用いた高次ゲージ理論に基づく複雑な幾何的構造を明らかにする。

ABSTRACT

We propose a nonlinear Schr\\"odinger equation in a Hilbert space enlarged with an ancilla such that the partial trace of its solution obeys to the Lindblad equation of an open quantum system. The dynamics involved by this nonlinear Schr\\"odinger equation constitutes then a purification of the Lindbladian dynamics. This nonlinear equation is compared with other Schr\\"odinger like equations appearing in the theory of open systems. We study the (non adiabatic) geometric phases involved by this purification and show that our theory unifies several definitions of geometric phases for open systems which have been previously proposed. We study the geometry involved by this purification and show that it is a complicated geometric structure related to an higher gauge theory, i.e. a categorical bibundle with a connective structure.

研究の動機と目的

• 開系における幾何的位相の散在する定義を統一するための包括的動的枠組みを構築すること。
• 補助ヒルバート空間を備えた拡張されたヒルバート空間における非線形シュレーディンガー方程式を用いて、リンドブラッドダイナミクスを純化すること。
• 混合状態の背後にある幾何的構造を、階層的でカテゴリカルな主 bundle と接続構造として特定すること。
• 開系におけるデコherence と純化された純粋状態ダイナミクスにおけるもつれとの関係を確立すること。
• C*-加群と高次ゲージ理論の形式的枠組みを用いて、純粋状態から混合状態への幾何的位相理論の一般化を達成すること。

提案手法

• 密度行列 ρ を純粋状態 Ψ の部分トレースとして埋め込むために、補助ヒルバート空間 H_A を備えた拡大ヒルバート空間 H_S ⊗ H_A を導入する。
• tr_H_A(|Ψ⟩⟨Ψ|) がリンドブラッド方程式を満たすように、Ψ に対する非線形シュレーディンガー方程式を導出する。
• ランクごとに階層化された空間上の純化 bundle を構築し、C*-加群構造と C*-随伴性の整合性を保つ。
• 混合状態の幾何的構造をモデル化するため、左および右の主カテゴリカル bundle を定義し、接続構造が動的接続を符号化する。
• 純化空間における非線形ダイナミクスを用いて、演算子値幾何的位相を定義し、ベリー位相とウルマン位相を一般化する。
• 既存の確率的定式化（例：量子状態拡散や区分的決定的過程）と関係づけ、それらのダイナミクスが純化枠組み内での短時間近似として現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開系におけるリンドブラッドダイナミクスを、補助ヒルバート空間を備えた拡大ヒルバート空間におけるユニタリに似た非線形シュレーディンガー方程式にどのように純化できるか？
• RQ2 純化と非アーベルゲージ理論の観点から見たとき、混合量子状態の空間の背後にある幾何的構造は何か？
• RQ3 開系における幾何的位相は、従来提案された定義（例：ウルマン、スヨクヴィスト、および断熱的 C*-加群位相）をどのように統一するか？
• RQ4 補助ヒルバート空間は、デコherence と緩和を純化されたダイナミクスにおけるもつれとしてどのように符号化するか？
• RQ5 カテゴリカルな主 bundle に定義された接続構造は、純化された系のダイナミクスとその幾何的位相とどのように関係するか？

主な発見

• 拡大ヒルバート空間における非線形シュレーディンガー方程式は、その解の部分トレースが元の密度行列の時間発展を再現することを保証し、リンドブラッドダイナミクスを効果的に純化する。
• 混合状態の幾何的構造は、密度行列のランクに応じた正則および特異な層に分かれた、階層的で複合的な主双 bundle として特定される。
• 理論は高次ゲージ理論の構造を実現する：左および右の接続構造を備えたカテゴリカルな主 bundle であり、標準的な主 bundle を圏論的枠組みへ一般化する。
• 純化されたダイナミクスから導かれる演算子値幾何的位相は、ウルマン位相、スヨクヴィスト位相、および断熱的 C*-加群幾何的位相を統合的に統一する一貫した枠組みを提供する。
• 形式的枠組みは、確率的開系ダイナミクス（例：量子状態拡散や区分的決定的過程）と関係づけられ、それらが完全な非線形純化ダイナミクスの短時間近似を記述していることが示された。
• 純化されたダイナミクスにおける有効ハミルトニアンには、γ^k ‖Γ_k ψ‖² に比例する非線形項が含まれており、これが緩和およびデコherence 効果を補助空間とのもつれとして捉える。