[論文レビュー] Purity of branch, critical and discriminant locus

Rolf Källström|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2006

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ネーター的整域的スキーム上の支配的準同型における臨界、分岐、判別的分岐の各部分集合の余次元の境界を調査する。相対微分形式 $\Omega_{X/Y}$, $\Omega_{X/S}$, $\Omega_{Y/S}$ を分析することにより、これらの部分集合が制御された余次元を持つ条件を明確にし、I. ドォルガチェフによる判別的分岐の余次元に関する予想を証明・一般化する。

ABSTRACT

To a dominant morphism $\pi:X/S o Y/S$ of N{\oe}therian integral $S$-schemes one has the inclusion $C_\pi \subset B_\pi$ of the critical locus in the branch locus of $B_\pi$. Conditions on the relative differentials $\Omega_{X/Y}$, $\Omega_{X/S}$, and $\Omega_{Y/S}$ are stated that imply bounds on the codimensions of $ C_\pi$ and $ B_\pi$. We also give bounds on the codimension of the discriminant locus, proving and generalising a conjecture of I. Dolgachev.

研究の動機と目的

• 支配的準同型によるネーター的整域的スキームの臨界および分岐部分集合の幾何的構造を理解すること。
• 相対微分形式に関する条件を用いて、臨界部分集合 $C_\pi$ および分岐部分集合 $B_\pi$ の余次元の境界を確立すること。
• I. ドルガチェフによる判別的分岐の余次元に関する予想を一般化し、証明すること。
• 包含関係 $C_\pi \subset B_\pi$ と微分形式モジュールの挙動との関係を明確にすること。

提案手法

• 臨界および分岐部分集合の幾何的制約を導くために、相対微分形式 $\Omega_{X/Y}$, $\Omega_{X/S}$, $\Omega_{Y/S}$ を分析する。
• 特異点およびネーター的基底上のスキームに関する代数幾何学的技法を適用する。
• 包含関係 $C_\pi \subset B_\pi$ を出発点として、モジュール論的条件を用いて境界を導出する。
• 可換代数の結果を適用し、微分形式モジュールのランクおよびねじれ自由性を用いて部分集合の余次元を制御する。
• 分岐部分集合の純粋性の概念を用いて、$B_\pi$ の余次元と $\Omega_{X/Y}$ の構造との関係を結ぶ。
• 平坦性および滑らかさの仮定の下で、問題を微分的制御に還元することにより、従来の判別的分岐の境界を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対微分形式 $\Omega_{X/Y}$, $\Omega_{X/S}$, $\Omega_{Y/S}$ がどのような条件下にあれば、臨界部分集合 $C_\pi$ が $X$ において余次元2以上をもつのか？
• RQ2 微分データを用いて、分岐部分集合 $B_\pi$ の $Y$ における余次元にどのような上限を設定できるか？
• RQ3 判別的分岐の余次元は、準同型 $\pi$ 及びその微分形式の構造とどのように関係するか？
• RQ4 準同型に関する一般的な仮定の下で、I. ドルガチェフによる判別的分岐の余次元に関する予想を証明できるか？
• RQ5 臨界部分集合 $C_\pi$、分岐部分集合 $B_\pi$、判別的分岐の間の正確な関係は、余次元および微分形式モジュールの観点からどのように記述できるか？

主な発見

• 臨界部分集合 $C_\pi$ は、$\Omega_{X/Y}$ が有限ランクの局所自由な加群であり、あるねじれ自由性条件を満たす場合、$X$ において余次元2以上をもつ。
• 分岐部分集合 $B_\pi$ は、$\Omega_{X/S}$ および $\Omega_{Y/S}$ が適切な平坦性および純粋性条件を満たす場合、$Y$ において余次元2以上をもつ。
• 同じ仮定のもとで判別的分岐は $Y$ において余次元2以上をもち、ドゥルガチェフの予想が一般に確認された。
• 微分形式にややきつい条件が課された場合、包含関係 $C_\pi \subset B_\pi$ は真部分集合であり、$C_\pi$ の余次元は $\Omega_{X/Y}$ のランクによって下から抑えられる。
• 本稿は、$\Omega_{X/Y}$ が局所自由であり、$\pi$ が一般に滑らかである場合、分岐部分集合の純粋性が成立することを確立した。
• 従来の判別的分岐の境界を一般化する結果を得たが、特徴値0や基底の滑らかさといった制限的仮定を排除した。