[論文レビュー] Push-pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual

Baptiste Calmès, Kirill Zainoulline+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、形式的アフィンデモズール代数とその双対に、プッシュプル作用素を導入し、フラッグ多様体の等置不変オrientedコホロジーの代数的モデルを確立する。双対代数上のペアリングが非退化であることと、双対基底の同定を証明し、形式的群法則を用いて、K理論およびコホロジーの古典的結果を一般化する。

ABSTRACT

In the present paper we introduce and study the push pull operators on the formal affine Demazure algebra and its dual. As an application we provide a non-degenerate pairing on the dual of the formal affine Demazure algebra which serves as an algebraic counterpart of the natural pairing on the T-equivariant oriented cohomology of G/B induced by multiplication and push-forward to a point. This paper can be viewed as the next step towards the `algebraization program' for equivariant oriented cohomology theories started in arXiv:0905.1341 and continued in arXiv:1208.4114 and arXiv:1209.1676; the general idea being to match cohomology rings of algebraic varieties and elements of classical interest in them (such as classes of Schubert varieties) with algebraic and combinatorial objects that can be introduced in the spirit of [Demazure, Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion, Invent. Math. 21:287-301, 1973] and [Kostant, Kumar, The nil Hecke ring and cohomology of G/P for a Kac-Moody group G, Advances in Math. 62:187-237, 1986].

研究の動機と目的

• 形式的群法則を用いて、フラッグ多様体の等置不変オrientedコホロジーの代数的枠組みを構築すること。
• 任意の形式的群法則に一般化された、ニルヘッケ代数および0-ヘッケ代数の構成を拡張すること。
• パラボリック部分群の文脈において、プッシュフォワードとプルバックの合成として、代数的にプッシュプル作用素を定義し、研究すること。
• 形式的アフィンデモズール代数の双対における非退化ペアリングを確立し、双対基底を同定すること。
• 固定点集合への制限や、等置不変コホロジーにおけるプッシュフォワード写像といった、幾何的構成の代数的モデルを提供すること。

提案手法

• 形式的群法則 $F$ と根系を用いて、形式的アフィンデモズール代数 $\mathbf{D}_F$ 及びその双対 $\mathbf{D}_F^\star$ を定義する。
• パラボリック部分群 $P \subseteq Q$ に対する商写像 $G/P \to G/Q$ 沿いのプッシュフォワードとプルバックの合成として、プッシュプル作用素を導入する。
• 局所化代数上でのプッシュプル作用素の作用をモデル化するため、$Q_W$ 内の要素 $Y_{\Xi/\Xi'}$ を構成する。
• $S$-双対化を用いて、$\mathbf{D}_F$ の結果を $\mathbf{D}_F^\star$ に転送し、ペアリングと双対性の研究を可能にする。
• 局所化、$x_{\Pi/\Xi}$ による乗法、デモズール作用素を含む可換図式を確立し、整合性を検証する。
• 写像 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ で定義されるペアリング $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ が非退化であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグ多様体上のプッシュプル作用素は、形式的アフィンデモズール代数を用いてどのように代数的にモデル化できるか？
• RQ2 形式的アフィンデモズール代数の双対の構造は何か？ そして、等置不変コホロジーとどのように関係するか？
• RQ3 双対代数上のペアリングが非退化となる条件は何か？
• RQ4 形式的デモズール代数の設定において、双対基底を明示的に同定できるか？
• RQ5 代数的構成は、等置不変コホロジーにおける幾何的プッシュフォワード写像および制限写像とどのように関係するか？

主な発見

• 写像 $\mathbf{D}_F^\star \times \mathbf{D}_F^\star \to S$ で定義されるペアリング $\mathcal{A}_\Pi(\sigma\sigma')$ は非退化である。
• 族 $\{A_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ と $\{Y_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ は $\mathbf{D}_F^\star$ 内の双対基底をなす。
• 族 $\{B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e)\}_{w\in W}$ と $\{X_{I_v}^\star\}_{v\in W}$ は $\mathbf{D}_F^\star$ 内の双対基底をなす。
• パラボリックの場合、写像 $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \times \mathbf{D}_{F,\Xi}^\star \to S$ で定義されるペアリング $\mathcal{A}_{\Pi/\Xi}(\sigma\sigma')$ は非退化である。
• 族 $\{\mathcal{A}_\Xi(B_{I_w^{\mathrm{rev}}}(x_\Pi f_e))\}_{w\in W^\Xi}$ と $\{(X_{I_v}^\Xi)^\star\}_{v\in W^\Xi}$ は $\mathbf{D}_{F,\Xi}^\star$ 内の双対基底をなす。
• プッシュプル作用素構造は局所化と整合し、分母が代数的設定で打ち消されるように、$W_\Xi$-不変部分環構造を尊重する。