[論文レビュー] Push-sum on random graphs

Pouya Rezaeinia, Bahman Gharesifard+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 31被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、時間変動する確率的有向グラフ上で、平均コンSENSUSのプッシュ・サムアルゴリズムのほとんど確実収束を、有向無限フロー性質および補助状態の均一な下界の下で確立する。さらに、時間変動するB-非可約確率行列によって生成される系列に対して指数的収束レートを導出し、性能の定量的境界を伴う非定常な確率的ネットワークへのプッシュ・サム収束の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we study the problem of achieving average consensus over a random time-varying sequence of directed graphs by extending the class of so-called push-sum algorithms to such random scenarios. Provided that an ergodicity notion, which we term the directed infinite flow property, holds and the auxiliary states of agents are uniformly bounded away from zero infinitely often, we prove the almost sure convergence of the evolutions of this class of algorithms to the average of initial states. Moreover, for a random sequence of graphs generated using a time-varying B-irreducible probability matrix, we establish convergence rates for the proposed push-sum algorithm.

研究の動機と目的

• 通信トポロジーが確率的かつ非定常な時間変動する確率的有向グラフ上でのプッシュ・サムアルゴリズムの拡張を目的とする。
• 新しいエルゴード性条件「有向無限フロー性質」の下で、プッシュ・サムダイナミクスが初期状態の平均にほとんど確実に収束することを確立すること。
• 時間変動するB-非可約確率行列系列の下で、補助状態変数が無限回にわたってゼロから一様に離れていることを証明すること。
• 列確率行列の確率的系列上でのプッシュ・サムアルゴリズムの明示的かつ非漸近的収束レートを導出すること。
• 決定的かつ定常な確率的グラフに関する先行結果を、性能保証が定量的に与えられたより広範な非定常な確率的ネットワークモデルに一般化すること。

提案手法

• 各エージェントが状態変数と重み変数を維持し、時間変動する確率的有向グラフ上で局所平均化によりそれらを更新するプッシュ・サムアルゴリズムを提案する。
• ほとんど確実収束のための必要十分条件として「有向無限フロー性質」を導入する。
• 長さBの区間ごとのブロック構造的解析を用いてダイナミクスを分離し、集中不等式を適用する。
• ホエーディングの不等式を用いて、ブロック内での経験的遷移行列がその期待値からどれほど逸脱するかを制御する。
• 行列積解析と対数モーメントの境界を用いて、逆重み変数の成長を制御する。
• 期待対数のConsensus誤差の境界を導出し、行列積の偏差に対する指数的尾部境界を用いて収束レートを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような確率的ネットワーク条件下で、プッシュ・サムアルゴリズムは初期状態の平均にほとんど確実に収束するか？
• RQ2 非定常的かつ時間変動する確率的有向グラフ上でも、プッシュ・サムの収束を保証できるか？
• RQ3 基礎となる確率行列がB-非可約かつ時間変動する場合、プッシュ・サムアルゴリズムの収束レートは何か？
• RQ4 補助状態（重み）は時間経過とともにどのように振る舞い、どのような条件下でゼロから一様に離れるか？
• RQ5 定常ケースを越えて、確率的グラフ上でのプッシュ・サムの収束レートを定量的に評価できるか？

主な発見

• 有向無限フロー性質が成立し、補助状態が無限回にわたってゼロから一様に離れている場合、プッシュ・サムアルゴリズムは初期状態の平均にほとんど確実に収束する。
• ランダム行列系列が時間変動するB-非可約確率行列によって生成される場合、補助状態の均一な下界条件はほとんど確実に満たされる。
• このようなB-非可約系列に対して、期待Consensus誤差は、p²/(4B)に比例するレートで指数的に減少する。ここでpは1回の試行における成功確率、Bはブロックサイズである。
• 収束レートは、期待対数のConsensus誤差の境界によって定量化され、高確率でO(t/B)の割合で減少する。
• 与えられた仮定の下で、誤差はO(exp(−p²t/(4B)))のレートで減少することが解析により確立され、集中不等式から明示的な定数が導出される。
• 本結果は、決定的および定常な確率的グラフに関する先行研究を一般化し、非定常かつ確率的有向ネットワーク上でのプッシュ・サムの収束レート解析を初めて提供する。