[論文レビュー] Pushforwards of Measures on Real Varieties under Maps with Rational Singularities

Andrew Reiser|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Gorensteinな実代数的多様体 X 上の任意のコンパクト台付き滑らか measure が、有理的特異点を持つ平坦な準同型 ϕ: X → Y によるプッシュフォワードが、Y に滑らかな測度に関して連続な密度を持つことを確立している。Y が滑らかである限り、その結果は Aizenbud と Avni の p-進結果をオーダーミナル幾何学と特異点の解消を用いてアーキメデス的設定に拡張する。

ABSTRACT

Let $X,Y$ be algebraic varieties defined over $\Bbb R$. Assume $Y$ is smooth and $X$ is Gorenstein. Suppose $φ:X o Y$ is a flat $\Bbb R$-morphism such that all the fibers have rational singularities. We show that the pushforward of any smooth, compactly supported measure on $X$ has a continuous density with respect to any smooth measure with non-vanishing density on $Y$. This extends a result of Aizenbud and Avni from the $p$-adic case to the archimedean case.

研究の動機と目的

• Aizenbud と Avni の p-進測度プッシュフォワードに関する結果をアーキメデス的状況に拡張すること。
• 有理的特異点を持つ平坦な準同型の下でのコンパクト台付き滑らかな測度のプッシュフォワードの密度の連続性を確立すること。
• 制御された特異点を持つ写像の下での実代数的多様体上の測度の振る舞いを分析すること。
• オーダーミナル技法を用いて p-進とアーキメデス的測度論の間のギャップを埋めること。
• 測度プッシュフォワードの文脈における有理的特異点の実解析的類似を提供すること。

提案手法

• 代数的多様体から生じる定義可能集合および関数のたんぱく性と正規性を制御するためにオーダーミナル幾何学を用いる。
• 特異点の解消を適用して、トレース写像を介して有理的特異点が制御される局所モデルに問題を還元する。
• Radon-Nikodym 定理を用いて密度を定義し、局所的代数的近似を用いてその連続性を証明する。
• 写像が半代数的で終域がアフィンであるような状況の構成により、グローバル問題を局所モデルに還元する。
• 平坦な準同型が有理的特異点を持つ場合、解消の下で canonical sheaf に同型を誘導することにより、トレースの整合性を保証する。
• 複素解析的双対性と Stein 空間論を適用して、解析的圏におけるトレース写像の同型を検証し、有理的特異点が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実代数的多様体上の滑らかでコンパクト台付き測度のプッシュフォワードが連続な密度を持つ条件は何か？
• RQ2 平坦な準同型のファイバーにおける有理的特異点が、プッシュフォワード測度の正規性に与える影響は何か？
• RQ3 連続な密度を持つ測度プッシュフォワードに関する p-進結果をアーキメデス的設定に拡張できるか？
• RQ4 オーダーミナル幾何学は、実代数的幾何学における密度の連続性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 特異点の解消とトレース写像は、平坦な準同型の下での測度の振る舞いをどの程度特徴づけるか？

主な発見

• 有理的特異点を持つ平坦な準同型 ϕ: X → Y による、X 上の任意のコンパクト台付き滑らかな測度のプッシュフォワードは、Y 上の任意の滑らかな測度に関して連続な密度を持つ。
• X が Gorenstein で Y が滑らかである限り、この結果は、p-進結果をアーキメデス的状況に拡張する。
• 連続性はオーダーミナル近似と特異点の解消を用いて確立され、プッシュフォワードのたんぱく性を保証する。
• 主な技術的道具は、解消の下で Rπ∗Ω̃X → ΩX におけるトレース写像の同型であり、これは有理的特異点を特徴付ける。
• 証明は、写像が半代数的で終域がアフィンであるような局所モデルにグローバル問題を還元する。この還元は、有理的特異点の構造を活用する。
• 密度の連続性は、どこでも消えない微分形式が存在する Zariski 開集合上で Radon-Nikodym 衍導が局所的に連続関数であるという事実から従う。