[論文レビュー] Pythagorean fuzzy graphs: Some results

Rajkumar Verma, José M. Merigó+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Multi-Criteria Decision Making参考文献 49被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、従来のファジィ集合よりもネットワークにおける不確実性や曖昧性をより効果的にモデル化できるように、ファジィグラフ理論の拡張としてピタゴラスファジィグラフ（PFGs）を導入する。ピタゴラスファジィ集合—メンバーシップ度とノンメンバーシップ度が緩い制約を満たすもの—を統合することで、著者たちはPFGsを定義し、演算を確立し、性質を証明し、同型性、強いグラフ、完全性を検討し、不確実なデータを伴う複雑なシステムにおける意思決定のための堅牢なフレームワークを提供する。

ABSTRACT

Graph theory has successfully used to solve a wide range of problems encountered in diverse fields such as medical sciences, neural networks, control theory, transportation, clustering analysis, expert systems, image capturing, and network security. In past few years, a number of generalizations of graph theoretical concepts have developed to model the impreciseness and uncertainties in graphical network problems. A Pythagorean fuzzy set is a powerful tool for describing the vague concepts more precisely. The Pythagorean fuzzy set-based models provide more flexibility in handling the human judgment information as compared to other fuzzy models. The objective of this paper is to apply the concept of Pythagorean fuzzy sets to graph theory. This work introduces the notion of Pythagorean fuzzy graphs (PFGs) and describes a number of methods for their construction. We then define some basic operations on PFGs and prove some of their important properties. The work also discusses the notion of isomorphism between Pythagorean fuzzy graphs with a numerical example. Further, we introduce the concept of the strong Pythagorean fuzzy graph and the complete Pythagorean fuzzy graph. In addition, the paper also proves some results on self-complementary, self-weak complementary with Pythagorean fuzzy strong graphs and Pythagorean fuzzy complete graphs.

研究の動機と目的

• 古典的グラフ理論を、不確実性と曖昧性を扱うためにピタゴラスファジィ集合を組み込むことで拡張すること。
• 明確な数学的構造を持つピタゴラスファジィグラフ（PFGs）の概念を定義し形式化すること。
• PFGsにおける基本的な演算を構築し、その主要な代数的および構造的性質を証明すること。
• 数値例を用いてPFGs間の同型性を調査し、構造的同等性を検証すること。
• 強さおよび完全性を有する特別なPFGクラスを導入し、それらの性質を分析すること。

提案手法

• メンバーシップ度とノンメンバーシップ度が条件 μ² + ν² ≤ 1 を満たすように、PFGsを定義し、人的判断の表現にさらに柔軟性をもたらす。
• 結合、結合、合成、補集合といったPFGsにおける標準的演算を提案し、それらの閉包性および構造的性質を証明する。
• 数値例を通じてPFGs間の同型性の概念を導入し、2つのPFGsが構造的に同等であるための条件を確立する。
• 辺のメンバーシップ度が頂点のメンバーシップ度の最小値に等しい強さを持つPFGsを定義し、下位のファジィ構造と整合性を保つ。
• すべての異なる頂点のペアが最大可能なメンバーシップ度を持つ辺で接続されている完全なPFGsを定義し、完全性に関連する性質を導出する。
• 自己補集合的および自己弱補集合的PFGsを調査し、PFGがその補集合または弱補集合と同型となる条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピタゴラスファジィ集合は、ネットワーク構造における不確実性を形式的にグラフ理論に統合するにはどのように可能か？
• RQ2 ピタゴラスファジィグラフにおける基本的演算とは何か？ それらが満たす性質は何か？
• RQ3 2つのピタゴラスファジィグラフが同型であるための条件は何か？ また、数値例を用いてその検証はどのように行えるか？
• RQ4 強さおよび完全性を持つピタゴラスファジィグラフが有する構造的性質は何か？ それらは古典的対応物とどのように異なるか？
• RQ5 ピタゴラスファジィグラフが自己補集合的または自己弱補集合的であるための条件は何か？ それらにどのような意味があるか？

主な発見

• 本稿は、PFGsを明確に定義し、結合、結合、合成といった演算がPFGsの構造的および代数的性質を保存することを示した。
• PFGs間の同型性が数値例を通じて検証可能であることを証明し、不確実性下でのグラフ構造比較の実用的手段を提供した。
• 強さを持つPFGsの概念が形式化され、辺のメンバーシップ度が頂点メンバーシップ度の最小値によって決定され、下位のファジィ論理と整合的であることが保証された。
• すべての頂点ペアが最大可能な辺メンバーシップ度で接続されている完全なPFGsが導入され、その完全性および対称性に関する性質が分析された。
• PFGが自己補集合的または自己弱補集合的であるための条件が導出され、それらのグラフが特定の対称性およびメンバーシップ制約を満たすことが示された。
• ピタゴラスファジィ集合における緩い制約 μ² + ν² ≤ 1 のおかげで、従来のファジィグラフよりも人的判断と不確実性のモデル化において柔軟性が向上していることが、本フレームワークによって示された。