[論文レビュー] $q$-Analogues of two Ramanujan-type formulas for $1/\pi$

Victor J. W. Guo, Ji-Cai Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

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ひとこと要約

この論文は、$q$-WZペアを用いて、$q$-Pochhammer記号と$q$-整数を含む2つのRamanujan型$1/\pi$公式の$q$-類似を確立する。主な結果は、$q \to 1^{-}$の極限で元のRamanujan公式に還元される$q$-級数を、無限$q$-積展開の形で正確に閉形式で得ることである。

ABSTRACT

We give $q$-analogues of the following two Ramanujan-type formulas for $1/\\pi$: \\begin{align*} \\sum_{k=0}^\\infty (6k+1)\\frac{(\\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 4^k} =\\frac{4}{\\pi} \\quad\ ext{and}\\quad \\sum_{k=0}^\\infty (-1)^k(6k+1)\\frac{(\\frac{1}{2})_k^3}{k!^3 8^k } =\\frac{2\\sqrt{2}}{\\pi}. \\end{align*} Our proof is based on two $q$-WZ pairs found by the first author in his earlier work.

研究の動機と目的

• 最初の著者が提唱した2つのRamanujan型$1/\pi$級数の$q$-類似を確立すること。
• $q$-級数が$q \to 1^{-}$の極限で$q$-Pochhammer記号を含む閉形式の積に収束することを証明すること。
• 奇数$n$に対して、$\Phi_n(q)^2$を法とする$q$-超合同式に拡張し、$p$-進性質と関連付けること。
• $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k}}{8^k}$の$\text{Sun}$の$p$-進合同式を$q$-バージョンに拡張する。

提案手法

• 先行研究から知られている2つの$q$-WZペアを用いて、$q$-超幾何恒等式を導出する。
• $q$-WZ法を適用し、$q$-シフト階乗を含む望ましいテレスコピング恒等式に有限和を変形する。
• $q$-類似のスレイター恒等式を用いて、$n \to \infty$における無限級数の極限を評価する。
• $q$-級数変換と積恒等式を用いて、得られた式を無限$q$-積形式に簡約する。
• $\Phi_n(q)^2$を法とする$q$-合同式技術を適用し、分円多項式の性質を活用する。
• $q$-ホイップル和の終結型を用いて、定理1.2における$q$-超合同式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(6k+1)\frac{(1/2)_k^3}{k!^3 4^k}$および$(-1)^k(6k+1)\frac{(1/2)_k^3}{k!^3 8^k}$を含む2つのRamanujan型$1/\pi$級数に対して、$q$-類似を構成可能か？
• RQ2 $q \to 1^{-}$の極限でこれらの$1/\pi$公式に還元される正確な閉形式$q$-級数表現は何か？
• RQ3 奇数$n$に対して、これらの$q$-類似は$\Phi_n(q)^2$を法としてどのように振る舞い、どのような$p$-進合同式を示唆するか？
• RQ4 $q$-類似を用いて、中心二項係数和の$\text{Sun}$の$p$-進合同式（$p^2$を法として）の$q$-バージョンを導出可能か？
• RQ5 $q$-WZペアと$q$-超幾何恒等式は、これらの$q$-類似を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• $q$-類似の第一のRamanujan公式は、$\sum_{k=0}^{\infty} q^{k^2}[6k+1]\frac{(q;q^2)_k^2(q^2;q^4)_k}{(q^4;q^4)_k^3} = \frac{(1+q)(q^2;q^4)_\infty(q^6;q^4)_\infty}{(q^4;q^4)_\infty^2}$として証明された。
• $q$-類似の第二のRamanujan公式は、$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k q^{3k^2}[6k+1]\frac{(q;q^2)_k^3}{(q^4;q^4)_k^3} = \frac{(q^3;q^4)_\infty(q^5;q^4)_\infty}{(q^4;q^4)_\infty^2}$として証明された。
• $q \to 1^{-}$の極限で、両方の$q$-級数が元のRamanujan型$1/\pi$公式に収束する。これにより、$q$-類似の正当性が確認された。
• $q$-級数は、奇数$n$に対して$\Phi_n(q)^2$を法とする$q$-超合同式を満たし、$\sum_{k=0}^{(n-1)/2} q^{k^2}\frac{(q;q^2)_k}{(q^4;q^4)_k} \equiv (-q)^{(1-n^2)/8} \pmod{\Phi_n(q)^2}$として与えられる。
• 証明は、$\Phi_n(q)^2$を法とする有限和を評価するために、$q$-類似のホイップルの${}_3F_2$和の類似に依存している。
• 結果は、最初の著者が提唱した、ヴァン・ハムの超合同式の$q$-類似に関する2つの予想を確認した。