[論文レビュー] Q and Q-prime curvature in CR geometry

Kengo Hirachi|arXiv (Cornell University)|May 9, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、CR幾何における2次的なQ曲率不変量としてQプライム曲率を導入し、CR構造の変形の下でその全積分、全Qプライム曲率が標準的CR球面で局所的最大値をとることを示している。CR構造の変形複体と表現論を用いて変分公式を導出し、全Qプライム曲率のヘッセ行列が半正定値であり、その核が障害関数とチェーン＝モーザーテンソルの消滅と関係することを証明することで、球面が臨界点であることを確認した。

ABSTRACT

The Q-curvature has been playing a central role in conformal geometry since its discovery by T. Branson. It has natural analogy in CR geometry, however, the CR Q-curvature vanishes on the boundary of a strictly pseudoconvex domain in C^{n+1} with a natural choice of contact form. This fact enables us to define a "secondary" Q-curvature, which we call Q-prime curvature (it was first introduced by J. Case and P. Yang in the case n=1). The integral of the Q-prime curvature, the total Q-prime curvature, is a CR invariant of the boundary. When n=1, it agrees with the Burns-Epstein invariant, which is a Chern-Simons type invariant in CR geometry. For all n>=1, it has non-trivial variation under the deformation of domains. Combining the variational formula with the deformation complex of CR structures, we show that the total Q-prime curvature takes local maximum at the standard CR sphere in a formal sense.

研究の動機と目的

• 厳密に強凸な境界上で標準的Q曲率が消える高次元CR多様体における2次的Q曲率、Qプライム曲率を定義すること。
• 次元3におけるバーンズ＝エプスタイン不変量を一般化する全Qプライム曲率を、グローバルCR不変量として確立すること。
• 変形複体を用いて、CR構造の変形の下での全Qプライム曲率の変動を分析すること。
• 形式的な意味で、全Qプライム曲率が標準的CR球面で局所的最大値をとることを、ヘッセ行列解析と表現論を用いて示すこと。
• 全Qプライム曲率のヘッセ行列と、部分的に可積分なCR構造の可積分性条件との関係を調査すること。

提案手法

• CR幾何における2次的不変量として、共形幾何における2次的Q曲率に類似した形でQプライム曲率を定義する。
• アンビエント計量構成を用いて、CR境界の局所的不変量を曲率ジェットの形で表現する。
• CR構造の変形複体（一般化されたベルンシュタイン＝ゲルファンド＝ゲルファンド複体として実現）を用いて、全Qプライム曲率の2次変動を分析する。
• 全Qプライム曲率のヘッセ行列を、変形複体内のバンドル間のCR不変かつ自己随伴微分作用素として計算する。
• 表現論を用いてヘッセ作用素の核を特定し、その半正定性を確立する。
• ヘッセ作用素の核の消滅が、障害関数とチェーン＝モーザーテンソルの消滅と関係することを示し、1次的に球面的である条件を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的Q曲率が消える高次元CR多様体において、2次的Q曲率が存在するか？
• RQ2 全Qプライム曲率が、次元3におけるバーンズ＝エプスタイン不変量を一般化するCR不変量として示せるか？
• RQ3 CR構造の変形の下で、全Qプライム曲率が標準的CR球面で最大値をとるか？
• RQ4 全Qプライム曲率のヘッセ行列の核が持つ幾何的意味は何か？
• RQ5 全Qプライム曲率のヘッセ行列は、CR構造の可積分性および障害理論とどのように関係するか？

主な発見

• ヘッセ行列の半正定性により、全Qプライム曲率が形式的に標準的CR球面で局所的最大値をとることを示した。
• 全Qプライム曲率のヘッセ行列は、変形複体内のバンドル間のCR不変かつ自己随伴微分作用素であり、その核は $ D_0^+ $ と $ D_0^- $ の核の和に一致する。
• $ n \neq 1 $ の場合、$ \text{ker}(D_0^+) + \text{ker}(D_0^-) = \text{ker}(R_1^- D_0^+) $ という条件は、核内の変形が1次的に球面的であることを意味する。
• 全Qプライム曲率のヘッセ行列は半正定であり、その核は1次的に球面的性質を保つ非自明な変形の方向を捉えている。
• この結果により、標準的CR球面が全Qプライム曲率関数の臨界点であることが確認され、次元3におけるバーンズ＝エプスタイン不変量の既知の最小性結果と整合的である。
• 部分的に可積分なCR構造に対しては、全Q曲率が非自明であり、そのヘッセ行列は可積分性条件と関係しているが、可積分構造を特徴づけるものではない。