[論文レビュー] q-Euler and Genocchi numbers

Taekyun Kim|ArXiv.org|Jun 14, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、カールツのものとは異なる、q-指数和を含む母関数を用いたq-Euler数の新規構成を提案する。これによりq-Genocchi数を定義し、q-Bernoulli数およびq-Euler数との関係を確立し、累乗和および多項式関係に関する古典的恒等式のqアナログを証明する。

ABSTRACT

Carlitz has introduced an interesting $q$-analogue of Frobenius-Euler numbers in [4]. He has indicated a corresponding Stadudt-Clausen theorem and also some interesting congruence properties of the $q$-Euler numbers. In this paper we give another construction of $q$-Euler numbers, which are different than his $q$-Euler numbers. By using our $q$-Euler numbers, we define the $q$-analogue of Genocchi numbers and investigate the relations between $q$-Euler numbers and $q$-analogs of Genocchi numbers.

研究の動機と目的

• カールツの構成とは異なる、代替的なqアナログのEuler数の構築を目的とする。
• 新規のq-Euler数に基づいてq-Genocchi数を定義し、その性質を調査すること。
• 累乗和および多項式関係を含む古典的恒等式のqアナログを確立すること。
• q-Euler数、q-Genocchi数、q-Bernoulli数を結ぶ関数的および漸化式関係を導出すること。

提案手法

• 母関数 $ F_q(t) = [2]_q e^{t/(1-q)} \sum_{j=0}^\infty \frac{(-1)^j}{1+q^{j+1}} \left(\frac{1}{1-q}\right)^j \frac{t^j}{j!} $ を用いて q-Euler 数 $ E_{n,q} $ を定義する。
• $ e^{xt} $ を含む類似の母関数を用いて q-Euler 多項式 $ E_{n,q}(x) $ を拡張し、二項型の公式を導く。
• $ G_q(t) = [2]_q t \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^n e^{[n]_q t} $ を用いて q-Genocchi 数 $ G_{n,q} $ を定義する。
• q-Genocchi数とq-Bernoulli数の関係を確立する： $ G_{n,q} = [2]_q B_{n,q} - 2[2]_q^n B_{n,q^2} $。
• 累乗和の恒等式のqアナログを導出する： $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l q^l [l]_q^m = \frac{1}{[2]_q} \left( (-1)^{n+1} q^n E_{m,q}(n) - E_{m,q} \right) $。
• スケーリングに関するq-Genocchi多項式の変換公式を証明する。例えば、 $ G_{n,q}(mx) = \frac{[2]_q}{[2]_{q^m}} [m]_q^{n-1} \sum_{a=0}^{m-1} (-1)^a q^{a+mx} G_{n,q^m}(x + \frac{a}{m}) $ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カールツのq-Eulerian数とは異なる、新たなqアナログのEuler数をどのように構成できるか？
• RQ2 新規のq-Genocchi数の定義的性質および母関数は何か？
• RQ3 新規のq-Genocchi数はq-Bernoulli数およびq-Euler数とどのように関係するか？
• RQ4 この構成から、累乗和および多項式関係に関する古典的恒等式のqアナログをどのように導出できるか？
• RQ5 奇数の整数によるスケーリングに関して、q-Genocchi多項式の関数方程式および変換法則を確立できるか？

主な発見

• 新規のq-Euler数 $ E_{n,q} $ は、q-指数和を含む母関数により定義され、 $ \lim_{q \to 1} E_{n,q} = E_n $ を満たす。これは古典的Euler数に対応する。
• q-Genocchi数 $ G_{n,q} $ は $ G_q(t) = [2]_q t \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^n e^{[n]_q t} $ を用いて定義され、 $ \lim_{q \to 1} G_{n,q} = G_n $ を満たす。これは古典的Genocchi数に対応する。
• q-Genocchi数とq-Bernoulli数を結ぶ重要な恒等式が得られた： $ G_{n,q} = [2]_q B_{n,q} - 2[2]_q^n B_{n,q^2} $。これは古典的関係 $ G_n = 2nE_{n-1} $ を一般化する。
• 累乗和の恒等式のqアナログが確立された： $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l q^l [l]_q^m = \frac{1}{[2]_q} \left( (-1)^{n+1} q^n E_{m,q}(n) - E_{m,q} \right) $。
• q-Genocchi多項式の変換公式が導出された。例えば、奇数の $ m $ に対して $ G_{n,q}(mx) = \frac{[2]_q}{[2]_{q^m}} [m]_q^{n-1} \sum_{a=0}^{m-1} (-1)^a q^{a+mx} G_{n,q^m}(x + \frac{a}{m}) $ が成り立つ。
• 本稿では関数上での新しい演算 $ * $ を導入し、 $ G_{n,q} $ を含む再帰関係を簡潔に表現可能となった。例えば $ ([m]_q - [m]_q^n)*G_{n,q} = [2]_q \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} [m]_q^k G_{k,q^m} \sum_{a=0}^{m-1} (-1)^a q^{a(k+1)} [a]_q^{n-k} $ が成り立つ。