[論文レビュー] q-Invariant Functions for Some Generalizations of the Ornstein-Uhlenbeck Semigroup

Pierre Patie|ArXiv.org|Jan 14, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己相似Feller過程の1不変関数を一般化されたオーナー・ウーレンバック（OU）半群のq不変関数へ写像するため、ガンマ分布に従う確率変数の分数乗を用いた変換を導入する。主な貢献は、二面的α安定およびスペクトル的に負の半安定OU過程の最初の通過時分布およびオーバーシュート分布のラプラス変換を、新しい種類の一般化されたミタグ・レフラー関数を用いて表現することで、その特徴を特定することにある。

ABSTRACT

We show that the multiplication operator associated to a fractional power of a Gamma random variable, with parameter q>0, maps the convex cone of the 1-invariant functions for a self-similar semigroup into the convex cone of the q-invariant functions for the associated Ornstein-Uhlenbeck (for short OU) semigroup. We also describe the harmonic functions for some other generalizations of the OU semigroup. Among the various applications, we characterize, through their Laplace transforms, the laws of first passage times above and overshoot for certain two-sided stable OU processes and also for spectrally negative semi-stable OU processes. These Laplace transforms are expressed in terms of a new family of power series which includes the generalized Mittag-Leffler functions.

研究の動機と目的

• 自己相似Feller過程から導かれる一般化されたオーナー・ウーレンバック半群へのq不変関数理論を拡張すること。
• 二面的α安定およびスペクトル的に負の半安定OU過程の最初の通過時およびオーバーシュートのラプラス変換を特徴付けること。
• ミタグ・レフラー関数を一般化し、合流超幾何関数を含む新しい種類の級数の族を導入・分析すること。
• 自己相似過程の1不変関数と関連するOU過程のq不変関数との間の写像を、ガンマ確率変数の分数乗による乗算によって確立すること。

提案手法

• 本稿では、Feller半群の自己相似性を用いて、時間変化過程における不変関数の変換則を導出する。
• 時間変化に、時間変化されたレヴィ過程の逆を用いることで、自己相似過程から一般化されたOU半群を構成する。
• 主な変換は、パrameter qのガンマ確率変数の分数乗による乗算を通じて、1不変関数をq不変関数へ写像する。
• 一般化されたOU過程の調和関数を用いて、最初の通過時のラプラス変換を導出する。その表現は、一般化されたミタグ・レフラー関数を用いる。
• これらの特殊関数の漸近的挙動を分析することで、正規化定数を特定し、導出される分布の収束を保証する。
• 既知の結果（例えば、Bessel過程や径方向OU過程）におけるBessel過程および合流超幾何関数の性質を活用して、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたオーナー・ウーレンバック半群のq不変関数のクラスは、1不変関数の変換を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 自己相似過程の文脈において、ガンマ確率変数の分数乗が1不変関数をq不変関数へ写像する役割は何か？
• RQ3 二面的α安定およびスペクトル的に負の半安定OU過程の最初の通過時およびオーバーシュートのラプラス変換は、どのように表現できるか？
• RQ4 新たに導入された級数の族の構造は何か？ また、それらはミタグ・レフラー関数および合流超幾何関数をどのように一般化するか？
• RQ5 既知のBessel過程のケースを超えて、一般化されたOU過程における最初の通過時分布に閉形式の表現は存在するか？

主な発見

• パrameter qのガンマ確率変数の分数乗に伴う乗算作用素は、関連するOU半群のq不変関数の凸錐へ、1不変関数の凸錐を写像する。
• 二面的α安定OU過程の特定のレベルを超える最初の通過時のラプラス変換は、形式 $\mathcal{M}^{q}_{\alpha,\beta}(z)$ の一般化されたミタグ・レフラー関数を用いて表現され、プロセスの特徴から明示的なパラメータが導出される。
• スペクトル的に負の半安定OU過程の場合、オーバーシュート分布は同じ一般化されたミタグ・レフラー関数族を用いて特徴付けられ、パラメータはインデックスαおよび安定性パラメータに依存する。
• Bessel過程（α=2）の場合は、結果が修正ベッセル関数および合流超幾何関数を含む既知の表現に還元され、先行研究と一貫していることが確認される。
• 正規化定数 $C_{\frac{1}{\alpha}} = \frac{\alpha}{\alpha-1}$ は、ミタグ・レフラー型級数の漸近的挙動から導出され、ラプラス変換表現の正しさを保証する。
• 本稿では、一般化されたミタグ・レフラー関数の零点の位置が未解決の問題であると特定し、指数分布の無限畳み込みによる分布表現のさらなる展開が制限されることを示している。