[論文レビュー] Q-manifolds and Mackenzie theory: an overview

Theodore Voronov|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、マクケンジーの複雑な二重リー代数小屋の定義と、重み +1 のホモロジカルベクトル場を備えたQ多様体（スーパー多様体）によるより単純な記述との間の同値性を確立する。Drinfeld二重がマクケンジーの定式化とロイテンベルクの定式化の両方においてQ多様体を用いて表現された場合に等価であることを示すことにより、二重リー代数小屋とDrinfeld二重の二つの異なる構成を、重み付きスーパー幾何学とホモロジカルベクトル場に基づく一貫した、洗練された枠組みに統一する。

ABSTRACT

This text is meant to be a brief overview of the topics announced in the title and is based on my talk in Vienna (August/September 2007). It does not contain new results (except probably for a remark concerning Q-manifold homology, which I wish to elaborate elsewhere). "Mackenzie theory" stands for the rich circle of notions that have been put forward by Kirill Mackenzie (solo or in collaboration): double structures such as double Lie groupoids and double Lie algebroids, Lie bialgebroids and their doubles, nontrivial dualities for double and multiple vector bundles, etc. "Q-manifolds" are (super)manifolds with a homological vector field, i.e., a self-commuting odd vector field. They may have an extra Z-grading (called weight) not necessarily linked with the Z_2-grading (parity). I discuss double Lie algebroids (discovered by Mackenzie) and explain how this quite complicated fundamental notion is equivalent to a very simple one if the language of Q-manifolds is used. In particular, it shows how the two seemingly different notions of a "Drinfeld double" of a Lie bialgebroid due to Mackenzie and Roytenberg respectively, turn out to be the same thing if properly understood.

研究の動機と目的

• Q多様体の言語を用いて、複雑な二重リー代数小屋の定義を簡略化すること。
• マクケンジーの定式化とロイテンベルクの定式化の間の概念的・技術的ギャップを解消し、リー双代数小屋のDrinfeld二重の両者を統一すること。
• 重み付きスーパー多様体とホモロジカルベクトル場に基づき、リー双代数小屋の二重を幾何的に直感的な記述で統一すること。
• n重リー双代数小屋やその二重の高次の類似物に対する概念的基盤を提供すること。
• パリティ反転を介して、二重リー代数小屋の構造がQ多様体形式下で二重リー反代数小屋に等価であることを示すこと。

提案手法

• リー代数小屋をQ多様体として表現する：$ \Pi E \to M $ 上に重み +1 のホモロジカルベクトル場 $ Q $ を持つスーパー多様体。ここで $ E \to M $ はベクターバンドル。
• リー代数小屋構造と $ \Pi E $ 上の重み +1 のホモロジカルベクトル場の間の同値性、あるいは $ \Pi E^* $ 上の重み -1 のショウテン括弧の間の同値性を用いる。
• マクケンジーの二重ベクターバンドル $ T^*E \to E^* \to M $ をパリティ反転 $ \Pi^2 $ を用いてQ多様体の枠組みに変換し、$ \Pi^2 T^*E = T^*\Pi E $ を得る。
• 二重リー代数小屋構造が $ T^*E $ 上に存在するとき、それが $ T^*\Pi E $ 上の二重リー反代数小屋構造に等価であることを示し、二つの可換なホモロジカルベクトル場 $ X_{H_E} $ と $ X_{H_{E^*}} $ が構造を定義することを示す。
• 標準的シンプレクティック同相 $ T^*\Pi E \cong T^*\Pi E^* $ を用い、ロイテンベルクのDrinfeld二重を $ Q = X_{H_E} + X_{H_{E^*}} $ を持つQ多様体として特定し、パリティ反転後にマクケンジーの構成と一致することを示す。
• 二重ベクターバンドルに二つの可換な重み +1 のホモロジカルベクトル場が存在する場合、Q多様体の同値性により二重リー代数小屋に対応することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクケンジーの複雑な二重リー代数小屋の定義は、どのようにスーパー幾何学を用いて簡略化できるか？
• RQ2 ロイテンベルクのQ多様体に基づくDrinfeld二重と、マクケンジーのリー双代数小屋の余接二重は等価か？
• RQ3 統一された定式化において、重みとパリティの役割は何か？
• RQ4 リー双代数小屋の二重は、自然に二つの可換なホモロジカルベクトル場を持つQ多様体として記述できるか？
• RQ5 n重リー双代数小屋の二重の一般的構造は何か？ そして、追加の幾何的特徴を有する (n+1) 重構造を生じるか？

主な発見

• 二重リー代数小屋は、それぞれのファイバー方向に重み +1 の可換なホモロジカルベクトル場を備えた二重ベクターバンドルと同値である。
• リー双代数小屋のDrinfeld二重は、Q多様体を用いて表現された場合、マクケンジーの定式化とロイテンベルクの定式化の両方において等価である。
• $ T^*E $ を通じた二重リー代数小屋の構成は、ホモロジカルベクトル場 $ X_{H_E} $ と $ X_{H_{E^*}} $ がそれぞれ $ E $ と $ E^* $ 上のリー代数小屋構造に対応する、Q多様体の枠組み $ T^*\Pi E $ における記述と等価である。
• 二重ベクターバンドル $$ \begin{CD} T^*\Pi E @>{}>> \Pi E^* \\ @VVV @VVV \\ \Pi E @>{}>> M \end{CD} $$ は二重リー反代数小屋であり、その下位構造はパリティ反転後にマクケンジーの二重リー代数小屋と同型である。
• $ T^*\Pi E $ 上の標準的シンプレクティック構造は、リー双代数のDrinfeld二重上の不変スカラー積に対応し、幾何的関係を確立する。
• 一般原理が確認された：n重リー双代数小屋の二重は、2002年の予想とマクケンジーとの共同研究による形式化に従い、シンプレクティック構造を有する (n+1) 重リー双代数小屋を生じる。