[論文レビュー] Q-states Potts model on a random planar lattice

Jean-Marc Daul|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 1995

Theoretical and Computational Physics被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、ランダムな平面格子上の2次元量子重力と結合したq状態のポッター模型のスケーリング指数を、行列模型の定式化を用いて導出する。補助行列を導入することで相互作用を分離し、q=3における臨界的挙動を解明した。三臨界点が得られ、明示的なスケーリング則と、トーラス上のメロモーフィック関数によって支配される普遍的な臨界指数が得られた。

ABSTRACT

We propose a matrix-model derivation of the scaling exponents of the critical and tricritical q-states Potts model coupled to gravity on a sphere. In close analogy with the $O(n)$ model, we reduce the determination of the one-loop-to-vacuum expectation to the resolution of algebraic equations; and find the explicit scaling law for the case q=3.

研究の動機と目的

• ランダム平面格子上の2次元量子重力と結合したq状態ポッター模型の臨界および三臨界スケーリング指数を導出すること。
• スピン自由度を伴うランダムな三角形分割表面の数え上げを可能にする、ポッター模型の行列模型実現を確立すること。
• 多行列模型における分離不能な循環的結合の課題を、補助ガウス行列を導入することで相互作用を分離することにより解決すること。
• q=3における臨界点近傍の普遍的スケーリング挙動を、ストリング感受率および固有値密度のスケーリングを含めて特定すること。
• 三臨界性の出現と、q→4極限およびc→1挙動との関係を、 conformal field theories の文脈で明確にすること。

提案手法

• 頂点をスピン、連結線を三角形間のリンクとして表す、q個のヘルミート行列と三次相互作用を持つ多行列模型としてポッター模型を定式化する。
• ポッター行列間の循環的相互作用を分離するために補助ガウス行列Xを導入し、固有値の統合を用いた半古典的還元を可能にする。
• 補助行列およびポッター行列の固有値密度ρ(x)およびσ(λ)を、リゾルベント形式で表現し、それらの分布に関する平衡方程式を導出する。
• リゾルベントから定義されるメロモーフィック関数ψ(z)を用いて、固有値密度の台に対応する分岐カットを持つトーラス上のリーマン＝ヒルベルト問題に問題を写像する。
• 方程式(43)を解き、ψの多項式的構造を決定し、臨界挙動を特定するための零点および留数に関する条件を課す。
• 臨界点近傍での漸近的解析を実行し、リゾルベントf(z)、固有値密度、および1ループ関数g(ε)のスケーリング則を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム平面格子上のq状態ポッター模型の臨界および三臨界スケーリング指数を、行列模型を用いてどのように導出できるか？
• RQ2 補助行列は、ポッター模型の多行列模型における分離不能な循環的結合をどのように解消するか？
• RQ3 臨界状態におけるポッター行列および補助行列の固有値密度はどのように振る舞い、どのようなスケーリング則が導かれるか？
• RQ4 q=3の場合におけるリゾルベントおよび1ループ関数の明示的スケーリング極限はどのような形か？
• RQ5 三臨界点はどのようにして出現し、それをアクセスするためにはアクションにどのような修正が必要か？

主な発見

• q=3ポッター模型の臨界点は、リーマン＝ヒルベルト問題の代数的構造から得られるα_c² = (√47 − 3)/38およびg_c = 27α_c⁴√(665/(486(√47 − 3)))として特定された。
• 臨界点近傍では、固有値密度σ(y)がy^(5/6)に比例して消えるため、ストリング感受率指数はγ_str = −(5/6 − 1) = 1/6となる。
• リゾルベントf(z)は、f(a cosh y + i0) ∼ a^(5/3) cosh(5(y − 2iπ/15))というスケーリング極限を示し、臨界領域における普遍的スケーリング挙動が確認された。
• ポッター行列の1ループ関数g(ε)は、g(ε⁵ cosh 5t) ∼ 正則項 + cst·ε⁶ cosh(6(t − iπ/5)) + ... とスケーリングし、ディスク分配関数における普遍的スケーリングの出現が確認された。
• トーラス上のメロモーフィック関数ψ(z)は12個の三重零点を持ち、その構造は多項式恒等式(43)によって完全に決定され、臨界性の制約から係数が固定される。
• 系のスケーリング挙動は普遍的であり、ユニタリ最小模型と一致する。q=3の三臨界点は、結合定数と固有値分布の微妙なバランスから生じる。