[論文レビュー] $q$-Supercongruences from Jackson's $_8ϕ_7$ summation and Watson's $_8ϕ_7$ transformation

Chuanan Wei|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2021

Advanced Mathematical Identities参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ジャクソンの$_8\phi_7$和公式、ウォーソンの$_8\phi_7$変換、クリエイティブ・マイクロスコピング法、および互いに素な多項式に対する中国剰余定理を用いて、サイコロミック多項式の5乗および6乗を法とする新しい$q$-スーパー合同式を確立する。長とラマクリシュナのスーパー合同式の$q$-アナログを、より高い法に拡張し、古典的結果の正確な$q$-変形を含む二重級数恒等式を提示する。

ABSTRACT

$q$-Supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial are very rare in the literature. In this paper, we establish some $q$-supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial in terms of Jackson's $_8ϕ_7$ summation, Watson's $_8ϕ_7$ transformation, the creative microscoping method recently introduced by Guo and Zudilin, and the Chinese remainder theorem for coprime polynomials. More concretely, we give a $q$-analogue of a nice formula due to Long and Ramakrishna [Adv. Math. 290 (2016), 773--808] and two $q$-supercongruences involving double series.

研究の動機と目的

• サイコロミック多項式$\Phi_n(q)^5$および$\Phi_n(q)^6$の高次のべきを法とする$q$-スーパー合同式を確立すること。
• 長とラマクリシュナの$p$-進スーパー合同式（超幾何和$\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$に関して）を、より高い法を持つ$q$-アナログに拡張すること。
• 高度な$q$-級数技法および$q$-整数恒等式を用いて、古典的超幾何スーパー合同式の$q$-変形を提供すること。
• 特定の$n$に関する$3$を法とする合同条件の下で成り立つ二重級数を含む2つの新しい$q$-スーパー合同式を証明すること。
• 郭とシュロッサーによる以前の予想を、より強い法および明示的な$q$-変形表現を用いて証明することにより一般化すること。

提案手法

• ジャクソンの$_8\phi_7$和公式およびウォーソンの$_8\phi_7$変換を用いて、パラメータを含む$q$-超幾何恒等式を生成する。
• クリエイティブ・マイクロスコピング法を適用し、補助パラメータを導入して$q$-スーパー合同式を精緻化し、パラメータが1に近づく極限を分析する。
• 互いに素な多項式に対する中国剰余定理を用いて、$[n]$および$\Phi_n(q)^k$を法とする合同式を組み合わせ、$[n]\Phi_n(q)^k$を法とするより強い結果を得る。
• $q$-整数恒等式および$q$-ポッホハマー記法を用いて、$q$-アナログの古典的超幾何和を、正確なモジュラー性を持つ形で表現する。
• $q$-設定におけるロピタルの定理を適用し、パラメータ$a \to 1$の特異極限を扱い、$a \to 1$の極限における$q$-スーパー合同式の導出を可能にする。
• $\sum [6k+1] \frac{(q;q^3)_k^6}{(q^3;q^3)_k^6} q^{3k}$の形の和について、$n \mod 3$に応じて$[n]\Phi_n(q)^4$または$[n]\Phi_n(q)^5$を法とする$q$-スーパー合同式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長とラマクリシュナの古典的スーパー合同式（1.2）に関連する$q$-超幾何和に対して、$\Phi_n(q)^5$および$\Phi_n(q)^6$を法とする$q$-スーパー合同式を確立できるか？
• RQ2 クリエイティブ・マイクロスコピング法を$q$-超幾何変換と組み合わせることで、高次のスーパー合同式の$q$-アナログを導出できるか？
• RQ3 和$\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$の正確な$q$-変形は、$p^{s+4}$および$p^{s+5}$を法としてどのように表され、$p$-進構造をどのように反映するか？
• RQ4 $q$-アナログの中国剰余定理および$q$-級数恒等式を用いて、二重級数の$q$-スーパー合同式を構成し、証明できるか？
• RQ5 $q$-整数$[n]$およびサイコロミック多項式$\Phi_n(q)$は、$n \equiv 1,2 \pmod{3}$のとき、$q$-スーパー合同式の法を制御する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 定理1.1は、$n \equiv 1 \pmod{3}$のとき、$[n]\Phi_n(q)^4$を法とする$q$-スーパー合同式を確立し、$[n]^2$および$\sum q^{3j}/[3j]^2$、$\sum q^{3j-1}/[3j-1]^2$を含む補正項を含む。
• 定理1.2は、$n \equiv 2 \pmod{3}$のとき、$[n]\Phi_n(q)^5$を法とする$q$-スーパー合同式を証明し、右辺は$5[2n] \frac{(q^2;q^3)_{(2n-1)/3}^3}{(q^3;q^3)_{(2n-1)/3}^3}$に比例する。
• 系1.3は、$p^s \equiv 1 \pmod{3}$のとき、$p^{s+4}$を法とする$p$-進スーパー合同式を提示し、$j$に関する和$\left(\frac{1}{(3j-1)^2} - \frac{1}{(3j)^2}\right)$を含む補正項を含む。
• 系1.4は、$p^s \equiv 2 \pmod{3}$のとき、$p^{s+5}$を法とする$p$-進スーパー合同式を提示し、値は$10p^s \frac{(2/3)_{(2p^s-1)/3}^3}{(1)_{(2p^s-1)/3}^3}$に比例する。
• 定理3.1および3.2は、パラメータ$a$、$b$、$c$、$d$を含む二重級数$q$-スーパー合同式に結果を一般化し、$r = \pm 1$および$n \equiv -1 \pmod{d}$または$n \equiv 1 \pmod{d}$の下で成り立つ。
• 本稿は、郭とシュロッサーの2つの予想を、$q$-アナログの中国剰余定理および極限技法を用いて、それぞれ$[n]\Phi_n(q)^4$および$[n]\Phi_n(q)^5$を法とする$q$-スーパー合同式として証明した。