[論文レビュー] $(q,t)$-deformed (skew) Hurwitz $τ$-functions

Fan Liu, A. Mironov+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Fock表現における量子トロイダル代数 $U_{q,t^{-1}}(\hat{\hat{\mathfrak{gl}}}_1)$ を用いて構成された可換な $W$-作用素族を介して、スケーリングHurwitz $\tau$-関数の $(q,t)$-変形を導入する。これは、カットアンドジョイント作用素をマクドナルド多項式基底に一般化し、可積分階層構造を満たす $(q,t)$-変形されたHurwitz $\tau$-関数をもたらし、将来の行列モデルおよびトポロジカル弦理論への応用の基盤を提供する。

ABSTRACT

We follow the general recipe for constructing commutative families of $W$-operators, which provides Hurwitz-like expansions in symmetric functions (Macdonald polynomials), in order to obtain a difference operator example that gives rise to a $(q,t)$-deformation of the earlier studied models. As before, a key role is played by an appropriate deformation of the cut-and-join rotation operator. We outline its expression both in terms of generators of the quantum toroidal algebra and in terms of the Macdonald difference operators.

研究の動機と目的

• 可換な $W$-作用素族を用いて、スケーリングHurwitz $\tau$-関数の $(q,t)$-変形を構成すること。
• カットアンドジョイント回転作用素をマクドナルド多項式基底に一般化し、以前の $W_{1+\infty}$-に基づくモデルの $(q,t)$-変形を可能にすること。
• Fock表現 $\mathcal{F}_{q,t^{-1}}^{(1,0)}$ における量子トロイダル代数 $U_{q,t^{-1}}(\hat{\hat{\mathfrak{gl}}}_1)$ の生成子を用いて、変形された作用素を実現すること。
• 将来の行列モデル表現および $(q,t)$-変形された可積分構造の探求の基盤を築くこと。

提案手法

• $(q,t)$-変形への拡張を伴う $W_{1+\infty}$-代数フレームワークを用いて、変形された $W$-作用素 $\mathbf{W}_{-n}^{(m)}(q,t|\vec{N})$ を可換族として構成する。
• マクドナルド差分作用素 $D_N^{(k)}$ 及びその生成関数 $D_N(Y)$ を用いて、$(q,t)$-変形されたカットアンドジョイント作用素 $\hat{\mathbf{O}}(q,t|N)$ を定義する。
• $Y = -q^{-k}t^{-N}z$ とすることで、$D_N$ 作用素の積として $\hat{\mathbf{O}}$ を表現し、分割の箱に関する $q,t$-変形積としての固有値を導出する。
• Fock表現 $\mathcal{F}_{q,t^{-1}}^{(1,0)}$ における量子トロイダル代数 $U_{q,t^{-1}}(\hat{\hat{\mathfrak{gl}}}_1)$ を用いて $\hat{\mathbf{O}}$ を実現し、$W$-代数構造と関連付ける。
• 生成関数の恒等式 $\prod_{i=1}^N \frac{1 - z q^{\lambda_i} t^{-i}}{1 - z t^{-i}} = \prod_{(i,j) \in \lambda} \frac{1 - z q^j t^{-i}}{1 - z q^{j-1} t^{-i}}$ を用いて、$\hat{\mathbf{O}}_{\text{aux}}(z)$ の固有値表現を導出する。
• 正規化および収束を保証する形で、最終形 $\hat{\mathbf{O}} = (1-q)^{-\hat{E}} \hat{\mathbf{O}}_{\text{aux}}(q^{-1}t^{N+1}) / \prod_{i,j} (1 - t^{N+1-i} q^{-j})$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクドナルド多項式を用いて、$W_{1+\infty}$-に基づくHurwitz $\tau$-関数を $(q,t)$-変形フレームワークにどのように一般化できるか？
• RQ2 $(q,t)$-変形されたカットアンドジョイント作用素とは何か？ そして、マクドナルド多項式上にどのように作用するか？
• RQ3 変形された $W$-作用素は、量子トロイダル代数 $U_{q,t^{-1}}(\hat{\hat{\mathfrak{gl}}}_1)$ の生成子を用いてどのように実現できるか？
• RQ4 可換族 $\mathbf{W}_{-n}^{(m)}(q,t|\vec{N})$ の代数的構造は何か？ そして、可積分系とどのように関連するか？
• RQ5 本稿で構築された $\tau$-関数は、$1/N$ 展開またはスペクトル曲線を介して、行列モデルやトポロジカル弦理論と結びつけることができるか？

主な発見

• 本稿では、マクドナルド多項式を用いて、スケーリングHurwitz $\tau$-関数の $(q,t)$-変形を構成し、以前のシュール関数に基づくモデルを一般化した。
• 変形された $W$-作用素 $\mathbf{W}_{-n}^{(m)}(q,t|\vec{N})$ は可換族をなしており、可積分性を示唆し、新たな可積分系のクラスを示唆する。
• カットアンドジョイント作用素 $\hat{\mathbf{O}}(q,t|N)$ は、明示的にマクドナルド差分作用素を用いて表現され、分割の箱に関する無限積としての固有値が得られる。
• 作用素 $\hat{\mathbf{O}}$ は $\hat{\mathbf{O}} = (1-q)^{-\hat{E}} \hat{\mathbf{O}}_{\text{aux}}(q^{-1}t^{N+1}) / \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^\infty (1 - t^{N+1-i} q^{-j})$ の形に構成され、適切な正規化と収束性が保証される。
• この構成は、量子トロイダル代数 $U_{q,t^{-1}}(\hat{\hat{\mathfrak{gl}}}_1)$ のFock表現 $\mathcal{F}_{q,t^{-1}}^{(1,0)}$ において実現されており、これらの $\tau$-関数のための新しい代数的枠組みを提供する。
• 得られた結果は、将来の行列モデル表現、AMM/EOトポロジカル再帰、および $5d/6d$ 理論における $(q,t)$-変形された可積分構造の研究の基盤を築く。