[論文レビュー] $q$-Volkenborn Integration and Its Applications

Taekyun Kim|ArXiv.org|Oct 25, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{Z}_p$ 上の $q$-ボルケンボルン積分を用いて、複数の $q$-Euler 数および多項式の体系的枠組みを導入し、高次の $p$-進 $q$-Euler 数および多項式を構成し、新たな母関数を定義するとともに、負の整数における $q$-Euler 多項式を補間する Euler $q$-ゼータ関数を導入する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to present a systemic study of some families of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. In particular, by using the $q$-Volkenborn integration on $\Bbb Z_p$, we construct $p$-adic $q$-Euler numbers and polynomials of higher order. We also define new generating functions of multiple $q$-Euler numbers and polynomials. Furthermore, we construct Euler $q$-Zeta function. This paper is the version of the preprint of my paper to publish in the special issues as the preprint part of this proceedings.

研究の動機と目的

• $q$-ボルケンボルン積分を用いて、$\mathbb{Z}_p$ 上の複数の $q$-Euler 数および多項式の体系的理論を構築すること。
• $q$-ボルケンボルン積分を用いて、高次の $p$-進 $q$-Euler 数および多項式を構成すること。
• 高次の複数の $q$-Euler 数および多項式のための新しい母関数を定義すること。
• 負の整数における $q$-Euler 多項式を補間する Euler $q$-ゼータ関数を導入し、その性質を検討すること。

提案手法

• $q$-ボルケンボルン積分を用いて、重み $q^{x_1(h-1) + \cdots + x_k(h-k)}$ を持つ $[x_1 + \cdots + x_k]_q^m$ の $k$ 重積分として、高次の $p$-進 $q$-Euler 数を定義する。
• $q$-Euler 多項式の母関数を $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$ と定義し、これにより $E_{n,q}^{(h,1)}(x)$ が生成されることを示す。
• 積分表現を用いて Euler $q$-ゼータ関数を構成する：$\zeta_{E,q}^h(s,x) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-1} F_q(-t,x) dt$。$s \in \mathbb{C}$ および $|q| < 1$ に対して有効である。
• $q$-二項係数および $q$-ポッヒャーマー記号を用いて、$E_{m,q}^{(h,k)}$ の明示的公式を導出する：$E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$。
• 再帰的および畳み込み恒等式を確立し、たとえば $E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$ のような関係を導出し、異なる次数を結びつける。
• $q$-ボルケンボルン積分表現を用いて、$E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$ を得る。これは古典的 Eulee 多項式の一般化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次の $p$-進 $q$-Euler 数および多項式は、$q$-ボルケンボルン積分を用いてどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 高次の複数の $q$-Euler 数および多項式のための母関数は何か？
• RQ3 負の整数における $q$-Euler 多項式を補間するように、Euler $q$-ゼータ関数をどのように定義できるか？
• RQ4 $q$-Euler 数および多項式の構造を支配する再帰的および畳み込み恒等式は何か？
• RQ5 $q \to 1$ の極限において、$q$-Euler 数および多項式はどのように古典的 Euler 数および多項式に還元されるか？

主な発見

• $q$-ボルケンボルン積分表現により、$E_{k,q}(x) = \int_{\mathbb{Z}_p} [x + x_1]_q^k d\mu_{-q}(x_1)$ が得られ、これは古典的 Euler 多項式を一般化する。
• 高次の $q$-Euler 数は、$E_{m,q}^{(h,k)} = \frac{[2]_q^k}{(1-q)^m} \sum_{l=0}^m \binom{m}{l} \frac{(-1)^l}{(-q^{h+l}:q^{-1})_k}$ と表され、$q$-ポッヒャーマー記号を用いた閉形式の式である。
• Euler $q$-ゼータ関数 $\zeta_{E,q}^h(s,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{nh}}{[n+x]_q^s}$ は、負の整数において $q$-Euler 多項式を補間する：$\zeta_{E,q}^h(-m,x) = E_{m,q}^{(h,1)}(x)$。
• 母関数 $F_q(t,x) = [2]_q \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{hn} e^{[n+x]_q t}$ は、$E_{n,q}^{(h,1)}(x)$ を生成する。すなわち、$F_q(t,x) = \sum_{n=0}^\infty E_{n,q}^{(h,1)}(x) \frac{t^n}{n!}$ が成り立つ。
• 畳み込み恒等式 $E_{m,q}^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} q^{jx} E_{m-j,q}^{(k+j,1)}(x) E_{j,q}^{(k-1)}$ が成り立ち、異なる次数を結びつける。
• $q \to 1$ の極限において、$q$-Euler 数 $E_{m,q}^{(h,k)}$ は古典的複数の Euler 数 $E_m^{(k)}$ に還元され、$E_m^{(k)} = \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} E_j^{(k-1)} E_{m-j}^{(1)}$ を満たす。