[論文レビュー] QCD coupling up to third order in standard and analytic perturbation theories

B. A. Magradze|ArXiv.org|Oct 8, 2000

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Lambert W関数を用いて、標準的摂動理論（PT）および解析的摂動理論（APT）の両方において、QCDの運行結合定数を3次までの正確な解析的解として提示する。スパチオール領域とタイムリー領域における普遍的な解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ を導出し、$\Lambda=450$ MeV におけるこれらの関数の数値表を提供する。これにより、赤外領域における振る舞いが著しく改善され、体系依存性が低減される。

ABSTRACT

We analyze two sets of specific functions, that/which form the basis of the nonpower asymptotic expansions both in the timelike and spacelike regions for single scale dependent QCD observables in the Shirkov--Solovtsov's Analytic Perturbation Theory (APT) free of unphysical singularities. These functions are explicitly derived up to the third order in the closed form in terms of the Lambert-W function. As an input we used the exact two loop and the three loop (corresponding to Padé transformed beta-function) RG solutions for common invariant coupling α_s. The elegant recurrence formulas, helpful for numerical analysis, are obtained for the both sets of the APT functions. Then we construct the global versions of APT functions using the continuity conditions (at the quark thresholds) on the α_s in the \bar{MS} scheme and give numerical results. For first three of these functions \mathfrak{A}_n(s) and {\cal A}_n(Q^2); n=1,2,3 in the large interval of the momentum transfer and energy (1 GeV

研究の動機と目的

• Lambert W関数を用いて、$\overline{MS}$体系における3次までのQCD運行結合定数の正確な解析的解を導出すること。
• クォークフレーバーの閾値に依存しない、全運動量領域にわたる普遍的な解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ を構築すること。
• 2次結合定数解を体系に依存しない形で展開することにより、QCD観測量における体系依存性を低減すること。
• 1次から3次までの解析的結合関数 $\mathcal{A}_1(Q^2,f)$、$\mathfrak{A}_1(s,f)$ 及びその累乗の数値評価を提供し、標準的PTおよびPade近似と比較すること。

提案手法

• 2次および3次の重正化群方程式をLambert W関数を用いて解き、正確な閉形式の表現が得られることを示す。
• 解を用いて、分散関係を介して解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ を定義し、正しい解析性および赤外領域における振る舞いを保証する。
• 複素 $Q^2$ 平面上における3次結合定数のPade近似の虚部から、スペクトル関数 $\tilde{\rho}_n^{(3)}(t,f)$ を導出する。
• 解析的解を用いてクォークフレーバーの閾値を越えて接続することで、全エネルギー領域にわたるグローバルな普遍関数 $\mathcal{A}_n(Q^2)$ および $\mathfrak{A}_n(s)$ を構築する。
• 3次結合定数に対して反復的およびPade近似を適用し、それらの数値的挙動および有効範囲を比較する。
• $\Lambda_{\overline{MS}}=450$ MeV を用いて、$n=1,2,3$ の解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ をさまざまな $Q^2$ および $s$ の値について数値的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊関数（Lambert W関数）を用いて、2次および3次結合定数のQCD運行結合定数をどのように正確に解くことができるか？
• RQ2 スパチオール領域およびタイムリー領域における解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ の解析的構造およびスペクトル的性質は何か？
• RQ3 特に赤外領域において、解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ は、標準的摂動結合定数 $\alpha_s(Q^2,f)$ とどのように異なるか？
• RQ4 3次結合定数に対する反復的近似とPade近似の数値的挙動および有効範囲は何か？
• RQ5 全エネルギースケールにわたる、フレーバーに依存しない普遍的でグローバルな解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2)$ および $\mathfrak{A}_n(s)$ をどのように構築できるか？

主な発見

• 2次結合定数はLambert W関数を用いて正確に解かれ、$\alpha_s^{(2)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 + W_{-1}(\zeta)}$ として表現される。ここで $\zeta$ は $Q^2/\Lambda^2$ およびベータ関数係数に依存する。
• 3次結合定数はPade近似形として $\alpha_{\text{Pade}}^{(3)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 - \beta_0\beta_2/\beta_1^2 + W_{-1}(\xi)}$ と表現され、解析接続およびスペクトル関数の構築が可能になる。
• 解析的結合関数 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ および $\mathfrak{A}_n(s,f)$ は分散関係を介して導出され、正しい解析性および赤外領域における振動的挙動が保証される。
• 数値表（表7〜12）は、$\Lambda = 450$ MeV の下で、$\mathcal{A}_1(Q^2,f)$、$\mathcal{A}_2(Q^2,f)$、$\mathcal{A}_3(Q^2,f)$、$\mathfrak{A}_1(s,f)$、$\mathfrak{A}_2(s,f)$、$\mathfrak{A}_3(s,f)$ の値を提供し、$Q^2$ および $s$ が1から200 GeV$^2$ の範囲をカバーする。
• 3次結合定数の反復的近似は $Q^2 \sim 100$ GeV$^2$ まで有効であり、それ以上ではPade近似の方が収束性が優れている。
• 解析的結合関数 $\mathcal{A}_1(Q^2)$ および $\mathfrak{A}_1(s)$ は赤外領域で有限かつ良好に振る舞い、ランドウ極点を回避する。$\mathfrak{A}_1(s)$ は $\sqrt{s}=1$ GeV で0.385 から $\sqrt{s}=200$ GeV で0.121 に減少する。