[論文レビュー] QED Actions in Supercritical Fields

Sang Pyo Kim, Hyun Kyu Lee|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、発散級数や固有時積分を回避する、ガンマ関数に基づく新規手法を提案し、超臨界電磁場における1ループQED作用を計算する。ホイットカー＝ワトソンの公式を用いて、一定磁場および電場におけるQED作用の正確な表現をホイットハウス・ゼータ関数を用いて導出し、電磁双対性により真空中の極化および対生成率を正確に再現する複素作用が得られる。

ABSTRACT

In the in-out formalism we advance a new method to represent the gamma function for QED actions in supercritical fields, which is complementary to the proper-time integral representation in Phys. Rev. D 78, 105013 (2008) and Phys. Rev. D 84, 065004 (2011). The new method directly yields the QED action in terms of the Hurwitz zeta function in a constant magnetic field and the complex QED action in a constant electric field. The complex action exactly gives the vacuum polarization and the vacuum persistence and thereby the pair-production rate in the electric field. The QED actions exhibit the electromagnetic duality.

研究の動機と目的

• 超臨界磁場および電場におけるQED有効作用の非摂動的かつ収束する計算手法を開発すること。
• 標準的な固有時積分法における超臨界場での発散的漸近級数の問題を克服すること。
• ランダウ準位の和を取らなかったり、切断パラメータを導入しなくても、特殊関数（特にホイットハウス・ゼータ関数）を用いてQED作用を直接表現すること。
• 電場における複素QED作用の閉形式表現を確立し、真空中の安定性および対生成を正しく捉えること。
• ガンマ関数およびゼータ関数表現のレベルで、磁場と電場の作用の間の電磁双対性を示すこと。

提案手法

• イン・アウト形式とシュヴィンガー＝デュイット変分原理を用い、複素引数を伴うガンマ関数を用いて、正規化されていないQED作用を表現する。
• ラマヌジャンのガンマ関数公式を適用し、標準的な固有時積分と同等のべき級数表現を導出する。
• ホイットカー＝ワトソンの公式を用いて、QED作用をホイットハウス・ゼータ関数の形に表現し、超臨界場への解析接続を可能にする。
• 電場の場合を、磁場の結果の複素平面におけるガンマ関数の正則性を活用して、解析接続によって取り扱う。
• 未束縛運動におけるゼータ関数正則化を回避するため、直接ガンマ関数表現から電場における複素QED作用を導出する。
• 既知の級数展開を用いて、作用の虚部がシュヴィンガー対生成率と一致することを示し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束的かつ非摂動的な手法を用いて、超臨界磁場および電場におけるQED有効作用を計算することは可能か？
• RQ2 標準的な固有時積分における発散的べき級数を、超臨界場に対して収束形に再表現できるか？
• RQ3 ホイットハウス・ゼータ関数を用いて、ランダウ準位の和を取らなかったり、切断を導入しなくてもQED作用を直接表現できるか？
• RQ4 イン・アウト形式におけるガンマ関数表現が、真空中の安定性を含む電場における正しい複素作用を導くか？
• RQ5 本手法における磁場と電場の作用の間で、電磁双対性が保たれるか？

主な発見

• 一定磁場におけるQED作用は、ホイットハウス・ゼータ関数を含む収束級数として表現される：$\mathcal{L}^{(1)}(\beta) = \left(\frac{m^2}{4\pi\beta}\right)^2 \left[ \zeta'(-1, i\beta) + \zeta'(-1, -i\beta) + \cdots \right]$。
• 一定電場における複素QED作用は、$\mathcal{L}^{(1)}(\epsilon) = \left(\frac{m^2}{4\pi\epsilon}\right)^2 \left[ i\zeta'(-1, i\epsilon) - i\zeta'(-1, -i\epsilon) + \cdots \right]$として導出され、真空中の安定性を正確に再現する。
• 作用の虚部はシュヴィンガー対生成率と一致する：$\text{Im}\mathcal{L}^{(1)}(\epsilon) = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{m^2}{4\pi\epsilon} \right)^2 \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{-2\pi\epsilon n}}{n^2}$。
• 作用に現れるホイットハウス・ゼータ関数は、級数展開および反射公式を用いて虚部から直接再構成可能である。
• ランダウ準位の和を取らず、正則化に切断パラメータを必要としないため、より洗練された解析的構造が得られる。
• 電磁双対性（$E = iB$）は、ガンマ関数およびゼータ関数表現のレベルで、磁場と電場の作用の間で保持される。