[論文レビュー] QFT at the Turn of the Century: old principles with new concepts (an essay on local quantum physics)

Bert Schroer|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 1998

Quantum Mechanics and Applications被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、フォン・ノイマン代数のモジュラー理論を用いた、量子場理論（QFT）の新しい枠組みを提案する。この枠組みでは、対称性を点型でない無限次元の群へと再解釈し、ポアンカレ群を超えるものとする。S行列を楔領域代数の相対的モジュラー不変量として定義することで、摂動的でない相互作用の扱いが可能となり、隠れた対称性と内在的な相互作用を備えた、数学的に厳密なQFTの新しい基礎が得られる。

ABSTRACT

Historical aspects as well as the present state of QFT are analysed from a new viewpoint whose mathematical basis is the modular theory of von Neumann algebras. Its physical consequences suggest a new symmetry concept as well as a novel way of dealing nonperturbatively with interactions. The former generalizes the infinite dimensional diffeomorphism groups of low dimensional conformal theories to infinite dimensional groups in higher dimensions, with all symmetries beyond the Poincare group being either partially or totally 'hidden' (non-pointlike). Interactions are incorporated by using the fact that the S-matrix is a relative modular invariant of the interacting-relative to the incoming-net of wedge algebras. This new point of view allows many interesting comparisons with the standard quantization approach to QFT. (orig.)

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数のモジュラー理論を、基礎的な数学的構造として用いて、量子場理論を再定式化すること。
• 標準的な摂動的QFTの限界を克服し、相互作用の非摂動的定式化を導入すること。
• ポアンカレ群を超える対称性の概念を一般化し、無限次元で点型でない対称性を導入すること。
• S行列を相対的モジュラー不変量として再解釈し、相互作用を代数的構造に内在的に埋め込むこと。
• この代数的アプローチと、QFTにおける従来の正準化手法との比較を可能にすること。

提案手法

• QFTの中心的数学的枠組みとして、フォン・ノイマン代数のモジュラー理論を用いる。
• 物理的観測可能性を、時空領域、特に楔領域に関連付けられた局所代数のネットによって定義する。
• S行列を、相互作用のある場の代数と入射場の代数の間の相対的モジュラー不変量として導入する。
• モジュラー共変性の概念を応用し、高次元QFTにおける対称性構造を導出する。
• モジュラー自己同型と物理的対称性の対応を確立し、コンフォーマル対称性を高次元へ一般化する。
• 相対的モジュラー作用素を用いて、摂動的でない方法で相互作用場の力学を符号化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマン代数のモジュラー理論は、標準的な摂動的手法を超えた量子場理論の再定式化にどのように利用可能か？
• RQ2 点型でないが、無限次元群に関連する対称性である場合、高次元QFTにおける対称性の性質は何か？
• RQ3 相互作用を含むQFTにおいて、S行列は楔領域代数の相対的モジュラー不変量としてどのように導出可能か？
• RQ4 非点型で隠れた対称性は、局所量子場の代数的構造からどのように生じるか？
• RQ5 この枠組みは、QFTにおける相互作用の非摂動的取り扱いをどのように可能にするか？

主な発見

• S行列は、相互作用のある楔領域代数ネットと入射場の代数ネットの間の相対的モジュラー不変量として特定され、散乱過程の非摂動的定義が可能になる。
• 高次元QFTにおける対称性は、ポアンカレ群を超えて、無限次元で点型でない群へ一般化され、代数的構造に部分的または完全に「隠されている」。
• この枠組みは、物理的対称性がモジュラー自己同型に符号化されていることを示し、モジュラー理論と時空力学の間に深い関係があることを示唆する。
• 相互作用はモジュラー構造によって内在的に組み込まれており、摂動的ラグランジュアン構成の必要性を回避する。
• 数学的に厳密なQFTの定式化が可能となり、非摂動的効果と隠れた対称性を自然に扱える。
• このモデルはQFTの新しい代数的視点を提供し、標準的正準化手法との直接的な比較を可能にし、構造的差異と利点を浮き彫りにする。