[論文レビュー] qKZ equation and ground state of the O(1) loop model with open boundary conditions

Luigi Cantini|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、s = q^{-3/2} における2境界Temperley-Lieb代数のqKZ方程式の解を構成し、q^{1/2} = e^{-2\pi i/3} における組合せ的点で、その解が開放境界条件を満たす密度の高いO(1)ループ模型の基底状態に簡約されることを示している。また、混合境界条件における基底状態を用いた代替的構成を提示し、開放境界条件における基底状態の成分の和則が4つのシミレクティック特性の積であることを証明している。

ABSTRACT

We consider the qKZ equations based on the two boundaries Temperley Lieb algebra. We construct their solution in the case s = q −3/2 using a recursion relation. At the combinatorial point q 1/2 = e −2�i/3 the solution reduces to the ground state of the dense O(1) loop model on a strip with open boundary conditions. We present an alternative construction of such ground state based on the knowledge of the ground state of the same model with mixed boundary conditions and prove that the sum rule as of its components is given by the product of four symplectic characters.

研究の動機と目的

• 2境界Temperley-Lieb代数のqKZ方程式の解をs = q^{-3/2} において構築すること。
• 組合せ的点におけるqKZ解と、開放境界条件を満たす密度の高いO(1)ループ模型の基底状態との関係を確立すること。
• 混合境界条件における基底状態の知識を用いて、開放境界条件における基底状態の代替的構成を提供すること。
• 開放境界条件における基底状態の成分の和則が、4つのシミレクティック特性の積として与えられることを証明すること。

提案手法

• s = q^{-3/2} の場合に、qKZ方程式の解を再帰関係を用いて構成する。
• 2境界Temperley-Lieb代数の枠組み内でqKZ方程式を分析する。
• q^{1/2} = e^{-2\pi i/3} における組合せ的点で、qKZ解がO(1)ループ模型の物理的基底状態に簡約されることを同定する。
• 混合境界条件における既知の基底状態を、代替的構成の構築要素として用いる。
• 表現論を用いて、基底状態成分の和則とシミレクティック特性との関係を関係づける。
• 代数的技法を用いて、和則が4つのシミレクティック特性の積であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2境界Temperley-Lieb代数のqKZ方程式の解を、s = q^{-3/2} において体系的にどのように構築できるか？
• RQ2 組合せ的点 q^{1/2} = e^{-2\pi i/3} におけるqKZ解の物理的解釈は何か？
• RQ3 混合境界条件における基底状態を用いて、開放境界条件におけるO(1)ループ模型の基底状態を再構成できるか？
• RQ4 開放境界条件における基底状態の成分の和則の背後にある代数的構造は何か？
• RQ5 基底状態成分の和則は、シミレクティック特性の積として表現可能か？

主な発見

• 2境界Temperley-Lieb代数のqKZ方程式は、s = q^{-3/2} において再帰関係を用いた解を有する。
• 組合せ的点 q^{1/2} = e^{-2\pi i/3} において、qKZ解は開放境界条件を満たす密度の高いO(1)ループ模型の基底状態と一致する。
• 既知の混合境界条件における基底状態を用いて、開放境界条件における基底状態の代替的構成が達成された。
• 開放境界条件における基底状態の成分の和則が、4つのシミレクティック特性の積であることが証明された。
• この結果により、qKZ理論とO(1)ループ模型におけるシミレクティック特性の表現論的構造との直接的な代数的関係が確立された。