[論文レビュー] QML estimation of the continuously invertible EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、コンpact集合上の連続的可逆性という新しい概念に基づき、EGARCH(1,1)モデルにおける準最大尤度推定量（QMLE）の強い一致性を確立する。最適化を経験的連続的可逆領域に制限することで、著者らは安定QMLE（SQMLE）を導入し、最小限の正則性条件のもとで強い一貫性と漸近正規性を保証する。これにより、EGARCH推定における長年の理論的ギャップが解消される。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

研究の動機と目的

• 実用的な推定条件下におけるNelson（1991）のEGARCH(1,1)モデルにおけるQMLEの理論的裏付けの欠如を解消すること。
• 確率的再帰方程式（SRE）によって駆動される分散過程のための、コンpact集合上での連続的可逆性の概念を定義・形式化すること。
• 最適化領域を連続的可逆集合に制限した場合のQMLEの強い一貫性を確立すること。
• 実用的な推定法として、最適化を経験的に特定可能な可逆領域に制限することで一貫性を保証する「安定QMLE（SQMLE）」を提案すること。
• 最小限の正則性仮定のもとでSQMLEの漸近正規性を導出し、有効な推論を可能にすること。

提案手法

• SRE駆動分散過程のための、コンpact集合上での連続的可逆性の概念を導入し、安定性と良好な尤度最適化を保証する。
• 真のパラメータが直接観測不能であっても、最適化領域を連続的可逆集合に制限した場合にQMLEが強い一貫性を示すことを証明する。
• データから経験的に連続的可逆領域を同定することで、安定QMLE（SQMLE）を提案し、実用的なかつ一貫性のある推定を実現する。
• 可逆領域のコンパクト性と連続性を用いて、弱い正則性条件のもとで推定量の収束性を保証する。
• 標準的な漸近理論を適用し、最小限のモーメントおよび微分可能性仮定のもとでSQMLEの漸近正規性を確立する。
• 確率的再帰構造と一様収束の議論に依拠し、実務において観測不能な可逆性条件を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適化領域が制限された場合、EGARCH(1,1)モデルにおけるQMLEが強い一貫性を示す条件は何か？
• RQ2 真の可逆性条件が観測不能であっても、一貫性を保証する実用的な推定法を設計できるか？
• RQ3 最小限の正則性仮定のもとで、提案された推定量の漸近分布は何か？
• RQ4 コンpact集合上での連続的可逆性は、どのように経験的に同定され、EGARCHモデルの推定を安定化させるために利用できるか？

主な発見

• 真のパラメータが直接観測不能であっても、最適化を連続的可逆領域に制限した場合、QMLEは強い一貫性を示す。
• 提案された安定QMLE（SQMLE）は、データが可逆EGARCH(1,1)モデルに従う場合に強い一貫性を示す。
• SQMLEは最小限の正則性条件のもとで漸近正規性を達成し、有効な統計的推論を可能にする。
• コンpact集合上での連続的可逆性の概念は、理論的に根拠があり、実務的に実装可能な安定推定の枠組みを提供する。
• 標準QMLEにおける不安定性を克服するため、最適化を経験的に特定可能な可逆領域に制限することで、QMLEを安定化させる。