[論文レビュー] Quadrangularity and Strong Quadrangularity in Tournaments

J. Richard Lundgren, K. B. Reid+2 more|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、直交行列をサポートできるトーナメントの存在を調べるため、四角性と強四角性という2つの組合せ的条件を導入し、分析する。10個以下の頂点をもつトーナメントにおいて、3サイクルを除き、直交行列の有向グラフとして成立しないことが証明され、無限個の強四角的トーナメントの族が構成された。これは、このようなトーナメントが小さな次数を超えて存在しない可能性を示唆している。

ABSTRACT

The pattern of a matrix M is a (0,1)-matrix which replaces all non-zero entries of M with a 1. A directed graph is said to support M if its adjacency matrix is the pattern of M. If M is an orthogonal matrix, then a digraph which supports M must satisfy a condition known as quadrangularity. We look at quadrangularity in tournaments and determine for which orders quadrangular tournaments exist. We also look at a more restrictive necessary condition for a digraph to support an orthogonal matrix, and give a construction for tournaments which meet this condition.

研究の動機と目的

• どの次数 n に対して四角的トーナメントが存在するかを特定すること。
• トーナメントが直交行列をサポートできるための必要条件として、強四角性というより強い条件を調査すること。
• 無限個の強四角的トーナメントの族を構成すること。
• 3サイクル以外のトーナメントが直交行列の有向グラフとして成立するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 3サイクルを除き、10個以下の頂点をもつトーナメントが存在しないことを、否定的な結果として示すこと。

提案手法

• トーナメントにおいて、すべての異なる u, v に対して |O(u) ∩ O(v)| ≠ 1 および |I(u) ∩ I(v)| ≠ 1 が成り立つ条件として四角性を定義する。
• 構造定理を用いて、出次数四角的トーナメントにおいて、出次数集合に誘導される部分トーナメントに出次数1の頂点が存在しないことを示す。
• 強四角性の概念を適用し、すべての頂点ペアに対して、その出次数集合および入次数集合の共通部分の大きさが1でないことを要請する。
• 5サイクルの隣接行列 RT₅ を用いた再帰的ブロック行列構成法により、無限個の強四角的トーナメントの族を構成する。
• 仮想の直交行列に対する内積制約を詳細に代数的に扱い、15頂点のトーナメント（3つの5サイクルから構成）に対してそのような行列が存在すると仮定した場合に矛盾を示す。
• 支配数および二次剰余トーナメントに関する既知の結果を活用し、9頂点のトーナメントに対する可能な構成を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次数 n に対して四角的トーナメントが存在するか？
• RQ2 3サイクル以外のトーナメントで、直交行列をサポートできるものは存在するか？
• RQ3 無限個の強四角的トーナメントの族を構成できるか？
• RQ4 直交行列をサポートするトーナメントが満たす構造的制約は何か？
• RQ5 3つの5サイクルから構成された15頂点のトーナメントがなぜ直交行列をサポートできないのか？

主な発見

• 10個以下の頂点をもつトーナメントにおいて、3サイクルを除き、直交行列の有向グラフとして成立しない。
• n ≤ 10 の場合、四角的トーナメントは n = 1, 2, 3, 9 のみに存在するが、ランク制約および零行制約により、3サイクル以外は実現不可能である。
• 四角性を満たす唯一の9頂点トーナメントは最小出次数1をもち、その構造から QR₇ に同型な部分グラフを強制的に含むが、これは強四角性を満たさない。
• 3つの RT₅ を用いた循環的ブロック行列から構成された15頂点トーナメントは、列ベクトルの線形従属が直交性を破るため、直交行列をサポートできない。
• 5サイクル隣接行列を用いた再帰的ブロック行列法により、無限個の強四角的トーナメントの族が構成された。
• 本稿は、3サイクルを除き非自明なトーナメントが直交行列をサポートしないという強い証拠を提供しており、そのようなトーナメントが存在しない可能性を示唆している。