[論文レビュー] Quadrant marked mesh patterns in alternating permutations

Sergey Kitaev, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、最大要素の位置に基づく再帰的分解を用いて、交互順列および逆交互順列における四分岐マーク付きメッシュパターン（MMP）の分布を研究する。特定のパターン—MMP(1,0,0,0)、MMP(0,1,0,0)、MMP(0,0,1,0)、MMP(0,0,0,1)—の母関数を導出し、偶数長の上り下り順列におけるその分布が$(\sec(xt))^{1/x}$に従い、奇数長の下り上がり順列における分布が$\int_0^t (\sec(xz))^{1+1/x} dz$に従うことを示す。これにより、メッシュパターン統計を用いた古典的な列挙の拡張がなされる。

ABSTRACT

This paper is continuation of the systematic study of distribution of quadrant marked mesh patterns. We study quadrant marked mesh patterns on up-down and down-up permutations, also known as alternating and reverse alternating permutations, respectively. In particular, we refine classic enumeration results of André on alternating permutations by showing that the distribution of the quadrant marked mesh pattern of interest is given by $(\sec(xt))^{1/x}$ on up-down permutations of even length and by $\int_0^t (\sec(xz))^{1+\frac{1}{x}}dz$ on down-up permutations of odd length.

研究の動機と目的

• 四分岐マーク付きメッシュパターンの体系的かつ包括的な研究を、交互順列および逆交互順列へと拡張すること。
• メッシュパターン統計を用いてアンドレの交互順列に関する古典的列挙結果を精緻化すること。
• 最大要素の位置に基づく再帰的技法を開発し、分布の母関数を計算すること。
• 上り下りおよび下り上がり順列における特定のメッシュパターンの母関数を調査すること。
• これらの順列クラスに関連する多項式の単峰性を予想すること。

提案手法

• 最大要素の位置に基づく再帰的分解を用いて母関数を導出する。
• 上り下りおよび下り上がり順列のための指数型母関数の使用。
• 正割関数および積分を含む閉形式の表現を、パターン分布の導出に用いる。
• より複雑なパターンに対しては、組合せ的恒等式および超幾何関数の適用。
• 母関数の恒等式を用いて、パターンの数え上げを既知の組合せ的数列と関連付ける。
• 最小要素に基づく再帰の既存手法を、最大要素の位置を扱うために適応応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数長の上り下り順列における四分岐マーク付きメッシュパターンMMP(1,0,0,0)、MMP(0,1,0,0)、MMP(0,0,1,0)、MMP(0,0,0,1)の分布は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 奇数長の下り上がり順列におけるこれらのパターンの分布の母関数は何か？
• RQ3 最大要素の位置に基づく再帰的手法を用いて、これらのメッシュパターンの母関数を導出できるか？
• RQ4 MMP(k,0,0,0)（k≥2）のようなより複雑なパターンの母関数と、これらパターンの母関数はどのように比較できるか？
• RQ5 これらのメッシュパターンの分布に関連する多項式は、すべてのn≥1に対して単峰的か？

主な発見

• 偶数長の上り下り順列におけるMMP(1,0,0,0)の分布は、母関数$(\sec(xt))^{1/x}$によって与えられる。
• 奇数長の下り上がり順列におけるMMP(1,0,0,0)の分布は、積分$\int_0^t (\sec(xz))^{1+1/x} dz$によって与えられる。
• kが小さい値のとき、偶数長および奇数長の順列におけるパターンの分布を記述する係数r_k(n)およびs_k(n)に対して、明示的な有理関数が導出された。
• 上り下り順列におけるMMP(1,0,\emptyset,0)の母関数は$A^{(1,0,\emptyset,0)}(t,x) = (\sec(t))^x$であり、簡潔な閉形式を持つ。
• 下り上がり順列におけるMMP(1,0,\emptyset,0)の母関数は、超幾何関数および三角関数項を含み、より複雑さを示している。
• 著者らは、n≥1のすべてのnに対して多項式$A_{2n}(x)$、$B_{2n+1}(x)$、$C_{2n}(x)$、$D_{2n+1}(x)$が単峰的であると予想している。その根拠として、小さなnに対する経験的証拠が提示されている。