[論文レビュー] Quadratic BSDEs with jumps and related non-linear expectations: a fixed-point approach ∗

Nabil Kazi-Tani, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定点法を用いて、跳躍付きの2次後向きSDEに対する有界解の存在および一意性を確立し、非線形Doob-Meyer分解と逆方向の比較定理を証明する。さらに、g-期待値の性質を導出し、動的リスク測度およびその双対表現への応用を含め、明示的なinf-convolution計算を実施する。

ABSTRACT

We prove the existence of bounded solutions of quadratic backward SDEs with jumps, using a direct fixed point approach as in Tevzadze [36]. Under an additional standard assumption, we prove a uniqueness result, thanks to a comparison theorem. Then we study the properties of the corresponding g-expectations, we obtain in particular a non linear Doob-Meyer decomposition for g-submartingales and their regularity in time. As a consequence of this results, we obtain a converse comparison theorem for our class of BSDEs. We give applications for dynamic risk measures and their dual representation, and compute their inf-convolution, with some explicit

研究の動機と目的

• 直接的な固定点法を用いて、跳躍付き2次後向きSDEに対する有界解の存在を確立すること。
• 生成子に関する標準的な可積分性仮定の下で、比較定理を用いて解の一意性を証明すること。
• このようなBSDEと関連するg-期待値の構造的性質を検討すること。
• g-下martingaleに対して非線形Doob-Meyer分解を導出し、その時間正則性を分析すること。
• 結果を動的リスク測度に応用し、その双対表現およびinf-convolutionの明示的計算を含めること。

提案手法

• Tevzadze [36] のアイデアを踏まえた固定点法を用いて、跳躍付き2次BSDEの解を構成する。
• ドライバーおよびジャンプ成分に対して弱い可積分性条件の下で解の存在を確立する。
• 生成子に関する追加の標準的仮定の下で、比較定理を適用して一意性を証明する。
• 解過程の性質を用いて、g-下martingaleに対する非線形Doob-Meyer分解を導出する。
• g-期待値の理論をジャンプ拡散設定に拡張し、時間における構造的正則性を明らかにする。
• 双対表現およびinf-convolutionの明示的計算を通じて、動的リスク測度への応用を展開する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点法を用いて、跳躍付き2次後向きSDEに対する有界解の存在を証明できるか？
• RQ2 このようなBSDEの解が一意となる条件は何か？
• RQ3 ジャンプおよび2次成長が存在する状況下で、g-期待値はどのような構造的性質を示すか？
• RQ4 この文脈において、g-下martingaleに対する非線形Doob-Meyer分解はどのように振る舞うか？
• RQ5 これらの結果は、動的リスク測度およびその双対表現にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 直接的な固定点法を用いて、跳躍付き2次後向きSDEに対する有界解の存在が示され、先行研究をジャンプ拡散ケースに拡張する。
• 標準的な可積分性仮定の下で、比較定理を用いて解の一意性が確立される。
• g-下martingaleに対して非線形Doob-Meyer分解が導出され、分解の各成分が時間的に正則であることが示される。
• 研究対象のBSDEクラスに対して、逆方向の比較定理が証明され、解の性質とドライバーの振る舞いとの間の関係が強化される。
• 結果は動的リスク測度に応用され、双対表現の導出およびinf-convolutionの明示的計算が得られる。