[論文レビュー] Quadratic Chabauty for Modular Curves

Samir Siksek|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有理数体上のモジュラー曲線で genus ≥3 の場合、ヤコビアンのNéron–Severiランクが少なくとも2以上であることを確立しており、古典的Chabauty法に代わる二次的Chabautyの適用を可能にする。この方法は、Mordell–Weilランクが古典的手法では不十分な場合に拡張される。主な結果は、このような曲線では、より高いNSランクのおかげで、二次的Chabautyが古典的Chabautyよりも有効であるということである。

ABSTRACT

Let $X/\mathbb{Q}$ be a curve of genus $g \ge 2$ with Jacobian $J$ and let $\ell$ be a prime of good reduction. Using Selmer varieties, Kim defines a decreasing sequence \[ X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots \] all containing the rational points of $X$. Thanks to the work of Coleman, the `Chabauty set' $X(\mathbb{Q}_\ell)_1$ is known to be finite provided the Mordell--Weil rank of $J$ is smaller than $g$. In this case one has a practical strategy that often succeeds in computing the set of rational points of $X$. Balakrishnan and Dogra have recently shown that the `quadratic Chabauty set' $X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ is finite provided the Mordell--Weil rank is less than $g + ρ-1$, where $ρ$ is the Néron-Severi rank of $J/\mathbb{Q}$. In view of this it is interesting to give families of curves where $ρ\ge 2$ and where therefore quadratic Chabauty is more likely to succeed than classical Chabauty. In this note we show that this is indeed the case for all modular curves of genus at least 3.

研究の動機と目的

• Néron–Severiランクが高いため、二次的Chabautyが古典的Chabautyよりも有効となるような曲線の族を同定すること。
• 有理数体上でのgenus ≥3 のモジュラー曲線のヤコビアンのNéron–Severiランクが少なくとも2以上であることを確立すること。
• Balakrishnan–Dograの定理を用いて、$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ の有限性を満たす十分条件を提示すること。
• 一般の曲線と比較して、モジュラー曲線では $\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$ がより成立しやすいことの証明。
• 古典的Chabautyがランク制約のため失敗するが、有理点の計算が可能なモジュラー曲線に対して実用的なフレームワークを提供すること。

提案手法

• Balakrishnan–Dograの有限性基準を適用し、$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ の有限性を保証するための条件 $\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$ を用いる。
• Eichler–Shimura理論を用いて、モジュラー曲線のヤコビアン $J$ を、重さ2の尖点形式に対応する $\operatorname{GL}_2$-型アーベル多様体 $\mathcal{A}_i$ の積に分解する。
• Néron–Severi群を、同型 $\operatorname{NS}(J) \otimes \mathbb{Q} \cong \operatorname{End}^{(s)}(J) \otimes \mathbb{Q}$ を用いて分析する。ここで $\operatorname{End}^{(s)}(J)$ はロサティ対合に関して不変な自己準同型の空間を表す。
• ロサティ対合に関して不変な $\operatorname{End}(J) \otimes \mathbb{Q}$ の部分代数を特定することで、有理数上のNéron–Severiランクを計算する。この部分代数は、全実体およびCM体 $F_i$ に対し、$F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$ の形を取る。
• 下界 $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) \geq \sum_{i=1}^m [F_i:\mathbb{Q}] + \frac{1}{2}\sum_{i=m+1}^n [F_i:\mathbb{Q}]$ を導出し、genus ≥3 の場合に少なくとも2以上であることを示す。
• Mordell–Weilランクとヘッケ体の次数を用いて、有限性条件を再表現し、計算可能な基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの種の曲線に対して、二次的Chabautyが古典的Chabautyよりも有効であるか？
• RQ2 有理数体上のモジュラー曲線のヤコビアンのNéron–Severiランクは何か？ 一般の場合と比較するとどうか？
• RQ3 Balakrishnan–Dograの基準を、モジュラー曲線に実際に適用可能か？
• RQ4 Mordell–Weilランクとヘッケ体の次数に関して、どのような条件下で $X(\mathbb{Q}_\ell)_2$ が有限になるか？
• RQ5 モジュラー曲線のヤコビアンの自己準同型代数の構造は、Néron–Severiランクにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の有理数体上のモジュラー曲線 $X/\mathbb{Q}$ で genus $g \geq 3$ の場合、そのヤコビアンのNéron–Severiランクは $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) \geq 2$ を満たす。これは一般の場合（$\operatorname{NS}(J)$ のランクが1）よりも高い。
• 条件 $\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < g + \operatorname{rank}\operatorname{NS}(J) - 1$ は、モジュラー曲線では一般の曲線よりも成立しやすい。これにより、二次的Chabautyがより多くの場合に適用可能になる。
• 有限性の十分条件として、$\operatorname{rank}J(\mathbb{Q}) < -1 + 2\sum_{i=1}^m [F_i:\mathbb{Q}] + \frac{3}{2}\sum_{i=m+1}^n [F_i:\mathbb{Q}]$ を導出。ここで $F_i$ は尖点形式のヘッケ体である。
• ヤコビアンのNéron–Severi群には、$F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$ に同型な有理数部分代数が含まれることが示された。ここで $E_i$ はCM体 $F_i$ の最大全実部分体である。
• ヤコビアンの単純因子が互いに非同型である場合、$\operatorname{NS}(J) \otimes \mathbb{Q}$ は代数 $F_1 \times \cdots \times F_m \times E_{m+1} \times \cdots \times E_n$ に同型であり、$\operatorname{rank}\operatorname{NS}(J)$ の下界が確認される。
• 古典的Chabautyの条件が満たされない場合でも、Néron–Severiランクの向上のおかげで、genus ≥3 のモジュラー曲線に対して二次的Chabautyが有効であることが示された。