[論文レビュー] Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples

Jennifer S. Balakrishnan, Netan Dogra+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、モジュラー曲線の有理点を計算するためのアルゴリズムを開発・実装し、特にヤコビアンのモーデル・ヴェイユランクが genus に等しい場合に、2次チャバウティ法を用いる。$p$-進高さの計算とトレースゼロ対応を用いて、局所的高さ寄与が非自明で、悪い還元を示す曲線に対しても対応し、$X_{S_4}(13)$ や $X_{\text{ns}}^+(17)$ などの genus 2 および 3 のモジュラー曲線に対して、有理点の完全な集合を特定した。特に $X_{\text{ns}}^+(17)$ は正確に 7 個の有理点を持ち、それらすべてが CM 点であることを証明した。

ABSTRACT

We describe how the quadratic Chabauty method may be applied to explicitly determine the set of rational points on modular curves of genus $g>1$ whose Jacobians have Mordell--Weil rank $g$. This extends our previous work on the split Cartan curve of level 13 and allows us to consider modular curves that may have few known rational points or nontrivial local height contributions at primes of bad reduction. We illustrate our algorithms with a number of examples where we determine the set of rational points on several modular curves of genus 2 and 3: this includes Atkin--Lehner quotients $X_0^+(N)$ of prime level $N$, the curve $X_{S_4}(13)$, as well as a few other curves relevant to Mazur's Program B. We also describe the computation of rational points on the genus 6 non-split Cartan modular curve $X_{ extrm{ns}} ^+ (17)$.

研究の動機と目的

• モーデル・ヴェイユランクが genus に等しいモジュラー曲線への2次チャバウティ法の適用を拡張すること。特に、非自明な局所的高さ寄与や素数における悪い還元を示す曲線を含む。
• マズールのプログラムBおよびセールのユニフォーム性問題に関連するモジュラー曲線の有理点を計算するための実用的アルゴリズムを開発すること。
• 特定のモジュラー曲線、例えば $X_{S_4}(13)$、$X_{\text{ns}}^+(17)$、およびアトキン＝レーナー商 $X_0^+(N)$ の有理点の完全な集合を同定すること。これらの曲線では有理点が希だったり、非CMであったりする。
• 大規模な素数 $N$ に対して $X_0^+(N)$ の有理点が主に尖点またはCM点であるという予想に対する計算的証拠を提供すること。

提案手法

• 2次チャバウティ枠組みを用いて、曲線の $p$-進点上で $p$-進解析的関数を計算する。これは、ヘッケ代数がコhomology および双対グラフに自明に作用する場合に $p$-進高さが消えることを利用している。
• ヘッケ代数内に、$H^1$ および特別なファイバーのコhomology に自明に作用するトレースゼロ対応を構成し、有理点上で $p$-進高さが恒等的に消えることを保証する。
• $p$-進積分とホッジフィルトレーションを用いて、$p$-進アーベル・ジャコビ写像を計算する。曲線の特異平面モデルを用いることで、コhomological 計算を簡略化する。
• Magma の関数 `Genus6PlaneCurveModel` と $\mathbb{P}^2$ の自己同型を用いて、係数が小さいモデルと無限遠点が2つあるモデルを特定し、ホッジフィルトレーションの計算を効率化する。
• アーメンヘッケ代数と $X_0^+(17^2)$ の新しい部分への同種を用い、ヘッケ作用素の特性多項式を用いて、それを既約因子に分解する。
• LMFDB を用いて、レベル 289 の新形式に対して $T_{31}$ がヘッケ代数を生成することを検証し、$p$-進高さが消えることを確認するための2つの一次独立なトレースゼロ対応を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 3 のモジュラー曲線 $X_{S_4}(13)$ の有理点の完全な集合は何か？ そのうちの例外的（非CM）な点はいくつあるか？
• RQ2 genus 6 の非分裂カルタン曲線 $X_{\text{ns}}^+(17)$ にはいくつの有理点があるか？ それらはすべてCM点であるか？
• RQ3 2次チャバウティ法は、悪い還元と非自明な局所的高さ寄与を示すモジュラー曲線に対しても効果的に適用可能か？
• RQ4 素数 $N$ に対して、特に有理点が希である場合に、アトキン＝レーナー商 $X_0^+(N)$ の有理点を同定する方法として、この手法はどの程度有効か？
• RQ5 ヘッケ代数内のトレースゼロ対応を用いて、$p$-進高さの消えることを保証し、有理点の計算を効果的に行えるか？

主な発見

• 曲線 $X_{S_4}(13)$ の有理点は正確に4つであり、そのうち1つは判別式 $D = -3$ に対応する $j$-不変量を持つCM点、残り3つは例外的（非CM）な点である。
• $X_{\text{ns}}^+(17)$ には正確に7つの有理点があり、それらすべてがCM点である。対応する判別式は $-3, -7, -11, -12, -27, -28, -163$ である。
• $X_{\text{ns}}^+(17)(\mathbb{Q}_{17})$ 上で $17$-進高さが恒等的に消えるのは、ヘッケ代数内に $H^1$ および双対グラフに自明に作用する一次独立な2つのトレースゼロ対応が存在するためである。
• $X_{\text{ns}}^+(17)$ に対して、$p=31$ を用いて有理点を効率的に計算した。6つの有限点と2つの無限遠点が得られ、Mercuri–Schoof が得た既知のCM点と一致した。
• $X_0^+(N)$ の有理点は、素数 $N$ に対して主に尖点またはCM点であることが、この手法によって確認された。これは、考察された genus 2 および 3 の場合にガルブレーストの予想を支持する。
• ヘッケ代数が単一の作用素によって生成され、かつ無限遠点が2つある適切な特異平面モデルが構成可能な場合、この手法は計算的に実行可能である。