[論文レビュー] Quadratic differentials in low genus: exceptional and non-varying

Dawei Chen, Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次および4次の場合の二次微分形式の例外的ストラタの連結成分を区別する代数的基準を提示する。この基準は、二次微分形式の除数を3で割ったものに関連する線束の正則切断の次元に基づく。多くの低次元ストラタにおいて、テイヒミュラー測地線フローのリャプノフ指数の和がストラタ内のすべてのテイヒミュラー曲線で一定であることを証明しており、これらは「変動しないストラタ」と呼ばれる。本稿は、4次までのすべてのストラタについて完全な分類を行い、5次では最小のストラタですら変動することを示している。

ABSTRACT

We give an algebraic way of distinguishing the components of the exceptional strata of quadratic differentials in genus three and four. The complete list of these strata is (9, -1), (6,3,-1), (3,3,3, -1) in genus three and (12), (9,3), (6,6), (6,3,3) and (3,3,3,3) in genus four. This result is part of a more general investigation of disjointness of Teichmueller curves with divisors of Brill-Noether type on the moduli space of curves. As a result we show that for many strata of quadratic differentials in low genus the sum of Lyapunov exponents for the Teichmueller geodesic flow is the same for all Teichmueller curves in that stratum.

研究の動機と目的

• 3次および4次の二次微分形式の例外的ストラタにおける連結成分を区別する未解決問題を解消すること。
• 具体的には、線束の正則切断の次元という代数的・幾何的不変量——特に、$ H^0(X, \operatorname{div}(q)_{0}/3) $ の次元——を用いて、各例外的ストラタの2つの連結成分を区別すること。
• 低次元ストラタにおける二次微分形式のストラタのうち、すべてのテイヒミュラー曲線においてリャプノフ指数の和が一定である（変動しない）ストラタを特定・分類すること。アーベル微分形式の結果を拡張すること。
• 変動しないストラタのリストがおそらく完全であり、すべての既知のハイパーガロアストラタを含むこと、および5次では最小のストラタですら変動することを示すこと。
• モジュライ空間におけるブライル・ノイザー型の除数からテイヒミュラー曲線が離れていることを示す手法を確立し、これによりリャプノフ指数の計算が可能になること。

提案手法

• 代数幾何学を用いて、$ H^0(X, \operatorname{div}(q)_{0}/3) $ の次元——これは例外的ストラタの2つの連結成分を区別する標準的不変量である——を定義する。
• ホッジバンドルのフィルトレーションおよび局所プラムビングパラメータの技術を適用し、モジュライ空間の境界除数付近における二次微分形式の挙動を分析する。
• 代数的交差理論を $ \overline{\mathcal{M}}_{g,n} $ 上に適用し、テイヒミュラー曲線 $ C $ とブライル・ノイザー型除数 $ D $ に対して $ C \cdot D = 0 $ を計算することで、リャプノフ指数の定数性を導出する。
• ヴェーチ群のモノドロミー情報とインデックス計算を用いて、特定の例についてリャプノフ指数を数値的に検証する。
• 平坦な曲面幾何学に依存せず、代数幾何学的手法により連結成分を構成することで、独立に既約性および連結性を証明する。
• アーベル微分形式の[CM11]の手法を二次微分形式に適応するが、テイヒミュラー曲線が高次の境界除数 $ \delta_i $ と交差する可能性があるという課題を克服する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次および4次の二次微分形式の例外的ストラタの2つの連結成分を区別する代数的不変量として、何が適切か？
• RQ2 低次元ストラタにおける二次微分形式のストラタのうち、すべてのテイヒミュラー曲線においてリャプノフ指数の和が一定である（変動しない）ストラタはどれか？
• RQ3 テイヒミュラー曲線がブライル・ノイザー型除数から離れていることは、二次微分形式の場合に確立可能か？ ただし、高次の境界除数と交差する可能性がある。
• RQ4 3次および4次の二次微分形式の変動しないストラタのリストは完全か？ また、すべての既知のハイパーガロアストラタを含むか？
• RQ5 5次には、最小のストラタですらリャプノフ指数の和が変動するストラタがあるか？

主な発見

• 3次において、ストラタ $ (9,-1), (6,3,-1), (3,3,3,-1) $ はそれぞれ正確に2つの連結成分を持ち、$ \dim H^0(X, \operatorname{div}(q)_{0}/3) = 1 $ または $ 2 $ によって区別される。
• 4次において、ストラタ $ (12), (9,3), (6,6), (6,3,3), (3,3,3,3) $ はそれぞれ正確に2つの非ハイパーガロア連結成分を持ち、同様に同じ正則切断の次元によって区別される。
• 1次において、ストラタ $ \mathcal{Q}(n,-1^n) $ および $ \mathcal{Q}(n-1,1,-1^n) $（$ n \geq 2 $）は変動しない。リャプノフ指数の和は一定である。
• 2次において、次元が7以下のすべてのストラタのうち12個が変動しない。3次においては、非例外的ストラタ19個と例外的ストラタ6個が変動しない。
• 4次においては、非例外的ストラタ8個と例外的ストラタ7個が変動しない。変動しないストラタのリストはおそらく完全である。
• 5次において、ストラタ $ \mathcal{Q}(16) $ ですら変動することが示され、2つの例で異なるリャプノフ指数が得られた：$ L^+ = 19949/12015 \approx 1.66 $ および $ 5/3 \approx 1.6667 $。