[論文レビュー] Quadratic $G$-BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions

Ying Hu, Shanjian Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2021

Stochastic processes and financial applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、BriandとHuの$ heta$-法に基づく新しい近似手続きを導入し、非線形確率的解析を組み合わせることで、凸（または凹）な生成子と有界でない終端条件をもつ1次元の2次$G$-BSDEの解の存在および一意性を確立する。さらに、終端値に指数モーメント条件が成り立つ場合の対角的2次生成子をもつ多次元$G$-BSDEの適切な定式化（well-posedness）を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we first study one-dimensional quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motions ($G$-BSDEs) with unbounded terminal values. With the help of a $θ$-method of Briand and Hu [4] and nonlinear stochastic analysis techniques, we propose an approximation procedure to prove existence and uniqueness result when the generator is convex (or concave) and terminal value is of exponential moments of arbitrary order. Finally, we also establish the well-posedness of multi-dimensional G-BSDEs with diagonally quadratic generators.

研究の動機と目的

• $G$-期待値枠組みにおいて、終端値が有界でなく、生成子が凸である1次元の2次$G$-BSDEについて、解の存在および一意性に関する結果が不足しているという問題に取り組む。
• 標準的な道具（例えば単調収束定理）が非線形$G$-期待値設定では直接適用できない中で、古典的な単調収束および近似技法を$G$-期待値設定に拡張する。
• 終端条件に指数モーメント条件が成り立つ場合の、対角的2次生成子をもつ多次元$G$-BSDEの適切な定式化（well-posedness）を確立する。
• 非決定的である2次変動過程$\langle B\rangle$および非増大性の$G$-マルティンゲール$K$が$G$-BSDEの定式化において引き起こす課題を克服する。
• 既存の有界終端値をもつ2次BSDEに関する結果を、任意の指数モーメントをもつ有界でない終端条件の状況に一般化する。

提案手法

• BriandとHuの$\theta$-法[4]を$G$-BSDE枠組みに適応させ、生成子の凸性／凹性のもとで解の成長を制御し、一意性を保証する。
• $G$-BSDEに対して再帰的近似スキームを用い、有界な終端値をもつ近似$G$-BSDEの系列を構築し、一様な事前推定を得る。
• 非線形確率的解析技法、特にBMO-マルティンゲール推定および指数モーメントの境界を用いて、解過程$Y^{(m)}$および$Z^{(m)}$の成長を制御する。
• 拡張された条件付き$G$-期待値およびその非線形測度の集合における本質的上限による表現を用いて、非線形ダイナミクスを扱う。
• 任意の$\gamma > 0$に対して、$\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y^{(m)}_t|)]$の一様境界を、反復的な近似手続きの適用によって確立する。
• ホルダーの不等式およびモーメント推定の反復的精錬を用いて、近似列の一様可積分性および真の解への収束を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終端条件が有界ではなく、任意の順序の指数モーメントをもつ場合に、1次元の2次$G$-BSDEの解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 生成子の凸性のもとで、$\theta$-法を$G$-期待値枠組みに適応させ、一意性を保証するにはどうすればよいか？
• RQ3 生成子および終端条件にどのような条件が成り立つと、対角的2次構造をもつ多次元$G$-BSDEの適切な定式化（well-posedness）が保証されるか？
• RQ4 近似および事前推定プロセスにおいて、非決定的2次変動$\langle B\rangle$および非増大性の$G$-マルティンゲール$K$をどのように取り扱えるか？
• RQ5 非線形期待値の下で標準的な単調収束定理が成立しないことを考慮すると、$G$-BSDEに古典的単調収束法を拡張することは可能か？

主な発見

• 本稿では、凸（または凹）な生成子と、任意の指数モーメントをもつ$e^p$-空間に属する終端条件をもつ1次元の2次$G$-BSDEの解の存在および一意性を証明する。
• 一様な事前推定が得られる：任意の$p \geq 1$に対して、$\mu$回の反復を経て、$\mathbb{\hat{E}}[\exp(3p\gamma\tilde{\sigma}^2 \sup_t |Y^{(m)}_t|)] \leq |\hat{A}(G)|^{\mu+1} \mathbb{\hat{E}}[\exp(24n(16n)^{\mu-1}p\gamma\tilde{\sigma}^2 |\xi|)]$が成り立つ。
• 近似列$\{Y^{(m)}, Z^{(m)}, K^{(m)}\}$が、$Y$、$Z$、$K$の$L^p$ノルムにおいて一様に有界であることが示され、極限解への収束が保証される。
• 解が$\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y_t|)] < \infty$を任意の$\gamma > 0$に対して満たすことが示され、$G$-期待値のもとで強い可積分性が保証される。
• 対角的2次生成子をもつ多次元$G$-BSDEについても、終端値に同じ指数モーメント条件が成り立つ場合、適切な定式化（well-posedness）が確立される。
• 反復的近似とモーメント推定の組み合わせにより、$G$-フレームワークにおける標準的単調収束およびピカール反復の欠如を効果的に克服した。