[論文レビュー] Quadratic Gröbner bases of twinned order polytopes

Takayuki Hibi, Kazunori Matsuda|arXiv (Cornell University)|May 16, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2つの有限半順序集合 P と Q が共通の線形拡張を持つとき、P と Q に関連する双子順序多面体 Δ(P,−Q) のトーリックイデアルが、逆辞書式順序において二次のグレブナー基底を持つことを確立している。主な結果は、この場合に Δ(P,−Q) が正規 Gorenstein ファノ多面体であるということであり、以前の順序多面体の中心対称配置に関する研究を一般化している。

ABSTRACT

Let $P$ and $Q$ be finite partially ordered sets on $[d] = \{1, \ldots, d\}$, and $\mathcal{O}(P) \subset \mathbb{R}^{d}$ and $\mathcal{O}(Q) \subset \mathbb{R}^{d}$ their order polytopes. The twinned order polytope of $P$ and $Q$ is the convex polytope $Δ(P,-Q) \subset \mathbb{R}^{d}$ which is the convex hull of $\mathcal{O}(P) \cup (- \mathcal{O}(Q))$. It follows that the origin of $\mathbb{R}^{d}$ belongs to the interior of $Δ(P,-Q)$ if and only if $P$ and $Q$ possess a common linear extension. It will be proved that, when the origin of $\mathbb{R}^{d}$ belongs to the interior of $Δ(P,-Q)$, the toric ideal of $Δ(P,-Q)$ possesses a quadratic Gröbner basis with respect to a reverse lexicographic order for which the variable corresponding to the origin is smallest. Thus in particular if $P$ and $Q$ possess a common linear extension, then the twinned order polytope $Δ(P,-Q)$ is a normal Gorenstein Fano polytope.

研究の動機と目的

• 中心対称な順序多面体の配置に関する従来の結果を一般化すること。
• 双子順序多面体 Δ(P,−Q) の内部に原点が存在する条件を特定すること。
• P と Q が共通の線形拡張を持つ場合に、Δ(P,−Q) のトーリックイデアルが逆辞書式順序において二次のグレブナー基底を持つことを確立すること。
• この条件下で Δ(P,−Q) が正規 Gorenstein ファノ多面体であることを証明すること。
• 半順序集合のイデアルと線形拡張を用いて、トーリックイデアル IΩ(P,−Q) の代数的および組合せ的構造を調査すること。

提案手法

• 双子順序多面体 Δ(P,−Q) を、順序多面体 O(P) と負の順序多面体 −O(Q) の凸包として定義する。
• P と Q の半順序集合のイデアルを用いて、原点、P の非空半順序集合のイデアル、および Q の非空半順序集合のイデアルの負の元からなる集合 Ω(P,−Q) を定義する。
• 原点に対応する変数が最小となる逆辞書式順序を導入する。
• P と Q が共通の線形拡張を持つ場合に、トーリックイデアル IΩ(P,−Q) がこの順序において二次のグレブナー基底を持つことを証明する。
• 要素の再ラベルリングにより、P と Q がインデックスで自然に順序付けられていると仮定し、単項式の比較の解析を簡略化する。
• 2つの単項式の係数ベクトルが異なる最大の添え字 j* に基づく還元議論を適用し、π(u) ≠ π(v) ならば先頭項が異なることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点が双子順序多面体 Δ(P,−Q) の内部に属する条件は何か？
• RQ2 トーリックイデアルが逆辞書式順序において二次のグレブナー基底を持つ条件は何か？
• RQ3 P と Q が共通の線形拡張を持つとき、Δ(P,−Q) がどのような代数的および幾何的性質を持つのか？
• RQ4 常に、トーリックイデアル IΩ(P,−Q) が二次のバイノミアルによって生成されるのか？
• RQ5 P と Q が共通の線形拡張を持つとき、Δ(P,−Q) の δ ベクトルの構造は何か？

主な発見

• ℝ^d の原点が Δ(P,−Q) の内部に属するのは、P と Q が共通の線形拡張を持つときかつそのときに限る。
• P と Q が共通の線形拡張を持つ場合、原点に対応する変数が最小となる逆辞書式順序において、Δ(P,−Q) のトーリックイデアルが二次のグレブナー基底を持つ。
• その結果、P と Q が共通の線形拡張を持つとき、Δ(P,−Q) は正規 Gorenstein ファノ多面体である。
• P と Q が共通の線形拡張を持つとき、Δ(P,−Q) の δ ベクトルは対称的かつ単峰的である。
• 鎖 P と反鎖 Q に対して、Δ(P,−Q) の δ ベクトルは r=1 のパスカル型の三角形と一致し、d=2 から d=6 までに示されている。
• 論文は、イデアルが二次で生成されていても、指定された順序においてすべてのトーリックイデアル IΩ(P,−Q) が二次のグレブナー基底を持つとは限らない反例を提供している。