[論文レビュー] Quadratic polynomials, multipliers and equidistribution

Buff, Xavier, Thomas Gauthier|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二次写像 $ f_c(z) = z^2 + c $ が周期 $ n $ の周期軌道をもつようなパラメータ $ c \in \mathbb{C} $ に対して、その倍周期の乗数 $ \rho_n $ を固定したとき、$ n \to \infty $ の極限において、パラメータが等分布することを確立する。$ \frac{1}{n}\log|\rho_n| \to L $ であるとき、$ L \leq \log 2 $ ならば、パラメータはマンデルブロ集合の境界上で等分布し、$ L > \log 2 $ ならば、等ポテンシャル曲線 $ \{g_M(c) = 2L - 2\log 2\} $ 上で等分布する。測度の収束先は $ \mu_\eta $（$ \eta = \max(0, 2L - 2\log 2) $）である。

ABSTRACT

Given a sequence of complex numbers {\ ho}_n, we study the asymptotic distribution of the sets of parameters c {\\epsilon} C such that the quadratic maps z^2 +c has a cycle of period n and multiplier {\ ho}_n. Assume 1/n.log|{\ ho}_n| tends to L. If L {\\leq} log 2, they equidistribute on the boundary of the Mandelbrot set. If L > log 2 they equidistribute on the equipotential of the Mandelbrot set of level 2L - 2 log 2.

研究の動機と目的

• 固定乗数 $ \rho $ に対してバッサネリとベルトゥルートの等分布結果を一般化し、$ \rho $ が $ n $ に依存し、$ |\rho_n| > 1 $ となる場合を含むこと。
• 二次写像 $ f_c(z) = z^2 + c $ が周期 $ n $ の周期軌道をもつようなパラメータ $ c \in \mathbb{C} $ の漸近的分布を、$ n \to \infty $ の極限で理解すること。
• 周期 $ n $ の軌道と乗数 $ \rho_n $ を持つようなパラメータに関連する確率測度 $ \nu_{n,\rho_n} $ の極限測度を、$ L = \lim \frac{1}{n}\log|\rho_n| $ の成長率に応じて特定すること。
• $ L \leq \log 2 $ のとき、極限測度がマンデルブロ集合の境界上に台を持つ分岐測度 $ \mu_{\rm bif} $ に一致することを示すこと。$ L > \log 2 $ のとき、$ \eta = \max(0, 2L - 2\log 2) $ に対し、等ポテンシャル測度 $ \mu_\eta $ に一致することを示すこと。

提案手法

• すべての周期 $ n $ の軌道の乗数を符号化する結果多項式 $ R_n(c, \rho) $ を定義し、これは $ c $ と $ \rho $ に関する多項式である。これにより、サブハーモニック関数 $ u_{n,\rho_n}(c) = \frac{1}{d_n}\log|R_n(c, \rho_n)| $ を定義する。
• 測度 $ \nu_{n,\rho_n} = \Delta u_{n,\rho_n} $ を構成し、その台は乗数 $ \rho_n $ の周期 $ n $ の軌道を持つパラメータ $ c $ から成り、重複度を数える。
• コンパクト集合 $ \{g_M(c) \leq \eta\} $ の外部で $ u_{n,\rho_n}(c) $ の漸近的挙動を分析し、$ \eta = \max(0, 2L - 2\log 2) $ として、点単位収束が $ v(c) = g_M(c) + 2\log 2 $ に一致することを示す。
• 一般化されたサブハーモニック関数の比較補題（補題3）を用い、$ M $ の外部で $ v(c) $ と一致する任意のサブハーモニック関数が、弱い位相的条件のもとで、全体で $ v $ と一致することを示す。
• この補題を $ v(c) = g_M(c) + 2\log 2 $ と $ u_{n,\rho_n} $ の極限に適用し、$ \nu_{n,\rho_n} $ の弱収束先が $ \mu_\eta = \Delta \max(g_M, \eta) $ に一致することを証明する。
• 複素力学系の結果を活用し、$ g_M $ の連続性、マンデルブロ集合の構造、および $ \mu_{\rm bif} $ が双曲的成分やクエア成分の境界に質量を持たないことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗数 $ \rho_n $ が $ n $ に対して指数関数的に成長するとき、$ n \to \infty $ の極限において、周期 $ n $ の軌道をもつパラメータ $ c \in \mathbb{C} $ の漸近的分布はどのように振る舞うか？
• RQ2 成長率 $ L = \lim \frac{1}{n}\log|\rho_n| $ に応じて、$ \nu_{n,\rho_n} $ の極限測度はどのように記述できるか？
• RQ3 マンデルブロ集合の境界上での等分布と、$ g_M $ の等ポテンシャル曲線への等分布のどちらが成立するかの条件は何か？
• RQ4 等分布結果を $ |\rho| \leq 1 $ の場合を越えて拡張可能か。重複度や非双曲的パラメータは果たす役割は何か？
• RQ5 グリーン関数 $ g_M $、分岐測度 $ \mu_{\rm bif} $、等ポテンシャル測度 $ \mu_\eta $ は、変動する乗数を持つ周期的パラメータの漸近的分布において、どのように相互作用するか？

主な発見

• もし $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log|\rho_n| = L \leq \log 2 $ ならば、測度列 $ \nu_{n,\rho_n} $ は弱収束して分岐測度 $ \mu_{\rm bif} = \Delta g_M $ に一致する。これはマンデルブロ集合の境界上に台を持つ。
• もし $ L > \log 2 $ ならば、$ \nu_{n,\rho_n} $ は弱収束して $ \mu_\eta $ に一致する。ここで $ \eta = 2L - 2\log 2 $ であり、$ \mu_\eta = \Delta \max(g_M, \eta) $ は等ポテンシャル曲線 $ \{g_M(c) = \eta\} $ 上に台を持つ。
• 収束は $ |\rho_n| > 1 $ の場合にも成立し、重複度は結果多項式 $ R_n(c, \rho) $ を用いて正しく扱われる。この多項式はパラボリックパラメータでも正しく定義される。
• 主な技術的ステップは、$ g_M(c) > \eta $ に対して $ u_{n,\rho_n}(c) \to g_M(c) + 2\log 2 $ が点単位収束することの証明であり、これは周期軌道に沿った乗数 $ \rho_{\bf i}(\lambda) $ の漸近的挙動を分析することで達成される。
• 証明は一般化されたサブハーモニック関数の比較補題（補題3）に依存しており、$ M $ の外部で $ g_M + 2\log 2 $ と一致する任意のサブハーモニック関数が、弱い位相的仮定のもとで、全体で一致することを保証する。
• 本結果は、バッサネリとベルトゥルートの等分布結果を $ |\rho| \leq 1 $ の場合を越えて一般化し、極限測度が $ \rho_n $ の絶対値の指数的成長率 $ L $ のみに依存し、特定の列 $ \rho_n $ の選び方には依存しないことを示している。