[論文レビュー] Quadratic Quantum Hamiltonians revisited

Monique Combescure, Didier Robert|ArXiv.org|Sep 13, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Weyl量子化およびガウス型コherent状態を用いて、時間に依存する2次量子ハミルトニアンを包括的かつ自己完結的に提示する。特に、時間発展演算子のWeyl記号の明示的計算に重点を置いている。主な貢献は、時間発展演算子の記号の詳細な導出であり、その応用は量子リバイバルおよびロシュミットエコーを含む。

ABSTRACT

Time dependent quadratic Hamiltonians are well known as well in classical mechanics and in quantum mechanics. In particular for them the correspondance between classical and quantum mechanics is exact. But explicit formulas are non trivial (like the Mehler formula). Moreover, a good knowlege of quadratic Hamiltonians is very useful in the study of more general quantum Hamiltonians and associated Schrödinger equations in the semiclassical regime. Our goal here is to give our own presentation of this important subject. We put emphasis on computations with Gaussian coherent states. Our main motivation to do that is application concerning revivals and Loschmidt echo.

研究の動機と目的

• 時間に依存する2次ハミルトニアンの自己完結的かつ詳細な量子力学的記述を提供すること。
• ガウス型coherent状態を用いて、時間発展演算子のWeyl記号の明示的公式を導出すること。
• 特にリバイバルおよびロシュミットエコーを含む量子ダイナミクスへの応用を支援すること。
• 2次系において、古典的・量子的力学の対応関係が正確に成立することを明確にすること。
• 一般のシュレーディンガー方程式の半古典的近似のための厳密で計算的に透明な枠組みを提供すること。

提案手法

• 位相空間記号から演算子への写像を積分公式を用いて行う、Weyl量子化を中心的な数学的道具として用いる。
• 式 (2.2) のWeyl記号公式およびその逆式 (2.3) を用いて、演算子を位相空間関数で表現する。
• メタプレクティック群およびシンプレクティック幾何学を用いて、2次ハミルトニアン下での時間発展演算の解析を行う。
• 正則化されたシンプレクティック行列（例：$F^ u$）を用いた極限手続きにより、時間発展演算子の共変記号を導出する。
• フーリエ解析およびプランシュレルの恒等式を用いて、振動的積分の分布的極限を計算する。
• 式 (5.95) で定義される2次形式 $\gamma_F(X)$ を用いて、戻り確率および忠実度の減衰率を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する2次ハミルトニアンの時間発展演算子のWeyl記号を、どのように明示的に計算できるか？
• RQ2 ガウス型coherent状態は、2次ハミルトニアン下での量子時間発展演算の解析をどのように簡略化するか？
• RQ3 特に、退化または特異な行列の極限において、シンプレクティック変換下での時間発展演算子記号の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 戻り確率および忠実度の正確な数学的構造は、時間発展演算子記号の観点からどのように記述できるか？
• RQ5 導出された公式は、カオス的系における量子リバイバルおよびロシュミットエコーを理解するために、どのように応用可能か？

主な発見

• 2次ハミルトニアンの時間発展演算子のWeyl記号は、シンプレクティック行列 $F$ を含む公式により明示的に与えられ、位相因子と行列式補正項を含む。
• 時間発展演算子 $\hat{R}(F)$ の共変記号は、位相空間の一部でデルタ関数として現れ、$F$ に依存する複素ガウス因子を含む。
• coherent状態における戻り確率および忠実度の主要項は、(5.95) で定義される2次形式 $\gamma_F(X)$ によって支配され、これが減衰率を制御する。
• $\gamma_F(X)$ の実部は、$-|X|^2 / (2(1 + s_F))$ で上から有界であり、ここで $s_F$ は $FF^T$ の最大固有値である。このため指数的減衰が保証される。
• 時間発展演算子記号の公式は、正則化行列 $F^ u$ に対する極限手続きを用いて導出され、$ olinebreakreak ext{det}(1 - F) = 0$ の場合でも有効であることが保証される。
• この導出は、Mehlig-Wilkinsonの公式の厳密な基礎を提供し、Gutzwillerのトレース公式の簡略化された証明を支持する。