[論文レビュー] Quadratic residues and difference sets

Vsevolod F. Lev, Jack Sonn|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、素数 $p$ を法とする二次剰余の集合が、ある部分集合 $A \subseteq \mathbb{F}_p$ の元 $a', a''$ についての差 $a' - a''$ として一意に表現可能かどうかを調査する。代数的整数論および局所クラス体論を用いて、このような集合 $A$ の存在に必要な $p$ の条件を導出し、$13 < p < 10^{18}$ のすべての素数についてその存在を除外した。これにより、唯一の例外は $p=5$ および $p=13$ であると考えられる。

ABSTRACT

It has been conjectured by Sarkozy that with finitely many exceptions, the set of quadratic residues modulo a prime $p$ cannot be represented as a sumset $\{a+b\colon a\in A, b\in B\}$ with non-singleton sets $A,B\subset F_p$. The case $A=B$ of this conjecture has been recently established by Shkredov. The analogous problem for differences remains open: is it true that for all sufficiently large primes $p$, the set of quadratic residues modulo $p$ is not of the form $\{a'-a"\colon a',a"\in A,\,a' e a"\}$ with $A\subset F_p$? We attack here a presumably more tractable variant of this problem, which is to show that there is no $A\subset F_p$ such that every quadratic residue has a \emph{unique}representation as $a'-a"$ with $a',a"\in A$, and no non-residue is represented in this form. We give a number of necessary conditions for the existence of such $A$, involving for the most part the behavior of primes dividing $p-1$. These conditions enable us to rule out all primes $p$ in the range $13

研究の動機と目的

• 素数 $p$ を法とする二次剰余の集合が、$a' \neq a''$ を満たす $A \subseteq \mathbb{F}_p$ の元 $a', a''$ を用いた差 $a' - a''$ として一意に表現可能かどうかを特定すること。
• このような差集合表現が存在するための $p$ に関する必要条件を、数論的性質として確立すること。
• $13 < p < 10^{18}$ の範囲のすべての素数について、このような集合 $A$ の存在を除外すること。ただし、$p=5$ および $p=13$ については可能性がある。
• 差集合 $A - A$ が二次剰余の集合にちょうど一致し、かつ一意な表現を持つ場合に生じる構造的制約を調査すること。
• Sárközyの和集合予想から得られる知見を、二次剰余の差集合に関する未解決問題へと拡張すること。

提案手法

• 集合 $A$ のサイズ $n = |A|$ と素数 $p$ の関係を表す式 $n(n-1) = \frac{p-1}{2}$ を用い、$p \equiv 1 \pmod{4}$ を示す。
• $p=5$ および $p=13$ の既知の例外に着目し、$\mathbb{F}_p^\times$ の乗法的部分群の陪集合として $A$ の構造を分析する。
• 四分岐拡大 $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(\sqrt{p}, \sqrt{-1})$ におけるクラス体論および局所ノルムを適用し、$\mathbb{K}^\times$ から $\mathbb{K}^{+\times}$ へのノルム写像に注目する。
• $p$-進付値および $\mathbb{K}^+$ 内での有理整数 $q$ の分解を用い、$n + \rho$ が $\mathbb{K}_\mathfrak{p}^+$ から $\mathbb{K}_\mathfrak{p}^{+}$ へのノルムであるかどうかを判定する。ここで $\rho = \frac{-\sqrt{p} - 1}{2}$ である。
• $n + \rho$ が $\mathbb{K}_\mathfrak{p}$ から $\mathbb{K}_\mathfrak{p}^+$ へのノルムであるための必要十分条件として、$\operatorname{ord}_p(q)$ が奇数、または $v_q\left(\frac{p-1}{4}\right)$ が偶数であることを示す。
• これらのノルム条件と、$A - A = \mathcal{R}_p$ かつ一意な表現が要求されるという条件を組み合わせることで、このような $A$ の存在に対するグローバルな障害を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $p$ を法とする二次剰余の集合が、ある部分集合 $A \subseteq \mathbb{F}_p$ の元 $a' \neq a''$ についての差 $a' - a''$ として一意に表現可能かどうか。
• RQ2 このような一意な差集合表現が存在するための $p$ に関する数論的条件は何か。
• RQ3 $p > 13$ であるような素数で、二次剰余の集合が差集合 $A - A$ として一意に表現可能であるものはあるか。
• RQ4 $p=5$ および $p=13$ の既知の例外は、乗法的部分群の陪集合であるようなより深い代数的構造に起因しているか。
• RQ5 代数的整数論、特にクラス体論および局所ノルムを用いて、大きな $p$ に対してこのような集合 $A$ の存在を除外できるか。

主な発見

• $13 < p < 10^{18}$ のすべての素数について、$A - A$ が $p$ を法とするすべての二次剰余を一意に表現するような部分集合 $A \subseteq \mathbb{F}_p$ の存在は除外された。
• 唯一の可能性がある例外は $p=5$ および $p=13$ であり、これらは既にそのような集合を有すること、すなわち $A_5 = \{2,3\} \subseteq \mathbb{F}_5$ および $A_{13} = \{2,5,6\} \subseteq \mathbb{F}_{13}$ である。
• このような集合 $A$ が存在するためには、$n = |A|$ が $n(n-1) = \frac{p-1}{2}$ を満たさねばならず、これより $p \equiv 1 \pmod{4}$ が導かれる。
• 著者らは、$p-1$ を割る素数 $q$ に対して、$n + \rho$ が $\mathbb{K}_\mathfrak{p}$ から $\mathbb{K}_\mathfrak{p}^+$ へのノルムであるための必要十分条件が、$\operatorname{ord}_p(q)$ が奇数、または $v_q\left(\frac{p-1}{4}\right)$ が偶数であることであると示した。
• $p-1$ を割る素数 $q$ に対して $v_q\left(\frac{p-1}{4}\right)$ が奇数である場合、このような $A$ は存在し得ないことが示された。
• これらのノルム理論的条件と一意な表現の要請を組み合わせることで、$p > 13$ に対しては完全な障害が生じ、$p=5$ および $p=13$ を除き、このような $A$ の存在は不可能であることが結論づけられた。