[論文レビュー] Quadratic Transportation Cost Inequalities Under Uniform Distance For Stochastic Reaction Diffusion Equations Driven by Multiplicative Space-Time White Noise

Shijie Shang, Tusheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、乗法的空間時間白色ノイズによって駆動される確率的反応拡散方程式の解に対して、一様ノルムにおける2次輸送コスト不等式を確立する。著者らは、任意の p > 0 に対して一様ノルム下での確率的畳み込みに関する新たな p 階モーメント推定を証明することで、このような解が半マルティンゲールでないという課題を克服し、伊藤積分の適用が不可能であるにもかかわらず、不等式の導出を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we established a quadratic transportation cost inequality for solutions of stochastic reaction diffusion equations driven by multiplicative space-time white noise based on a new inequality we proved for the moments (under the uniform norm) of the stochastic convolution with respect to space-time white noise, which is of independent interest. The solutions of such stochastic partial differential equations are typically not semimartingales on the state space.

研究の動機と目的

• 乗法的空間時間白色ノイズによって駆動される確率的反応拡散方程式の解に対して、一様ノルムにおける2次輸送コスト不等式を確立すること。
• このようなSPDEの解が半マルティンゲールでないという課題に対処することにより、伊藤積分の適用が不可能であることを考慮すること。
• 任意の正の次数 p に対して、空間時間白色ノイズに関する確率的畳み込みのための一様ノルム下での新たなモーメント推定を構築すること。
• 乗法的ノイズを伴うSPDEsの文脈において、輸送コスト不等式の適用範囲を一様位相に拡張すること。
• 従来の道具（例：伊藤の公式）が機能しないSPDEsにおける測度集中の結果を導くための枠組みを提供すること。

提案手法

• 任意の p > 0 に対して、空間時間白色ノイズによって駆動される確率的畳み込みのための一様ノルム下での新たな p 階モーメント推定を導出し、これは独立した価値を持つ。
• これらのモーメント推定を用いて、時間経過に伴う解の差の成長を一様ノルムで制御する。
• 区間 [0,T] × [0,1] 上の連続関数の空間における収縮性の議論を用いて、2つの解の差のモーメントバウンドを確立する。
• 相対エントロピーとモーメント推定を用いて Wasserstein 距離を評価した後、Gronwall の不等式を適用する。
• Walsh の確率的積分の局所的性質を活用して、確率的積分プロセスにおける零集合を扱う。
• 解が半マルティンゲールでないという事実を根拠に、伊藤に基づかないモーメント推定の必要性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的空間時間白色ノイズを伴う確率的反応拡散方程式に対して、一様ノルム下で2次輸送コスト不等式を確立できるか？
• RQ2 半マルティンゲール構造が欠如する状況下で、一様ノルムを扱うために必要な確率的畳み込みに関する新たなモーメント推定は何か？
• RQ3 伊藤積分が適用不可能な場合、空間時間白色ノイズによって駆動されるSPDEsにおける測度集中をどのように確立できるか？
• RQ4 一様ノルムは、L² ノルムと比較して、濃度特性を強化または変更する役割を果たすか？
• RQ5 大規模な p の場合に限らない、任意の p > 0 に対して確率的畳み込みのモーメント推定を拡張可能か？ これにより、より鋭い濃度バウンドが得られるか？

主な発見

• 本稿は、乗法的空間時間白色ノイズを伴う確率的反応拡散方程式の解に対して、一様ノルム下での2次輸送コスト不等式を確立する。
• 任意の p > 0 に対して、一様ノルム下での確率的畳み込みに関する新たな p 階モーメント推定が導出され、これは顕著な技術的貢献である。
• これらのモーメント推定により、伊藤積分の適用が不可能である非半マルティンゲール性を回避できる。
• 輸送コスト不等式の定数はノイズの強度、反応項、および時間区間の長さに依存するが、任意の T > 0 に対して有限である。
• 新しいモーメント推定を用いて一様ノルム下での解の差を評価した後、Gronwall の不等式を適用することで証明が成立する。
• Khoshnevisan と Sarantsev が、乗法的ノイズに対して L² ノルム下でのみ同様の不等式を得たのに対し、本稿はその結果を拡張している。