[論文レビュー] Quadratic variation, p-variation and integration with applications to stock price modelling

Rimas Norvaiša|ArXiv.org|Aug 13, 2001

Stochastic processes and financial applications参考文献 82被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、p-variationおよびλ-variationを用いた決定論的関数に対する確率的積分および二次変動の新しい枠組みを提案する。これは、古典的なリーマン＝スティルチェス積分を有界なp-variation（p < 2）を持つ経路へと拡張するものであり、左および右のヤング積分の存在とチェーンルールを確立し、λ-積分および括弧関数を定義する。さらに、連続時間の進化的モデルを用いた株価モデル化およびオプションプライシングへの応用を通じて、p-variation指数の推定が経路に沿ったヘッジと確率過程の近似を可能にすることを示している。

ABSTRACT

The paper develops a calculus for a class of real-valued functions having a quadratic variation. The main result is a solution of the representation problem for a class of evolutions having a quadratic variation. The result is applied to build up an asset pricing model. Also in the paper there are some results concerning an extension of the class of all semimartingales.

研究の動機と目的

• 有界なp-variation（p < 2）を持つ関数のための決定論的微積分を構築し、滑らかまたは半マルティンゲールの経路を超えて古典的なスティルチェス積分を拡張すること。
• 制御関数に対する二次λ-変動および括弧関数[f]λの定義と特徴付けを行い、経路に沿った二次変動へのアプローチを可能にすること。
• 有界なp-variationを持つ関数に対して左および右ヤング積分、λ-積分を構築し、それらの存在とチェーンルールの妥当性を保証すること。
• 連続時間の株価モデル化に理論を応用し、確率的仮定なしに経路に沿ったオプションプライシングとヘッジを可能にすること。
• 標本経路からのp-variation指数の推定と、収束保証付きの離散時間スキームによる連続時間モデルの近似を実現すること。

提案手法

• 区間[a,b]における稠密な合併を持つ入れ子の分割{λm}を用いたλ-変動の概念を導入し、二乗増分の和の極限として二次λ-変動を定義する。
• 括弧関数[f]λ = Vを、s < tに対してV(t)−V(s) = limₘ∑[f(xmᵢ)−f(xmᵢ₋₁)]²を満たす非減少の制御関数として定義する。
• f ∈ Wp[a,b]、g ∈ Wq[a,b]に対して、p⁻¹ + q⁻¹ > 1を満たすとき、拡張されたリーマン＝スティルチェス積分と左/右ヤング積分の存在を確立する。
• 拡張されたリーマン＝スティルチェス積分およびλ-積分のチェーンルールを導出し、p-variation経路上での関数計算を可能にする。
• 積分のλ-積分と拡張されたドレアン指数を導入し、決定論的設定下での確率的進化に類似した解法を可能にする。
• 進化的アセットプライシングモデルを用いて株価モデル化を適用し、離散時間モデルによるほとんど確実な近似を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界なp-variation（p < 2）を持つ関数に対して、確率測度に依存しない経路に沿った確率的微積分が構築可能か？
• RQ2 制御関数に対して二次λ-変動および関連する括弧関数[f]λの存在を保証する条件は何か？
• RQ3 p-variationを持つ関数に対して左および右ヤング積分をどのように定義・特徴付け可能か？また、適用可能なチェーンルールは何か？
• RQ4 p-variationに基づく積分を用いて、連続時間の株価モデルを経路に沿って構築・近似可能か？
• RQ5 標本経路からp-variation指数をどのように推定可能か？また、オプションプライシングおよびヘッジに与える影響は何か？

主な発見

• 関数f ∈ Qλ[a,b]の二次λ-変動が存在するための必要十分条件は、入れ子の分割に沿った二乗増分の和の極限が制御関数V = [f]λに収束することである。
• f ∈ Wp[a,b]およびg ∈ Wq[a,b]に対してp⁻¹ + q⁻¹ > 1を満たすとき、拡張されたリーマン＝スティルチェス積分∫g dfが存在し、チェーンルールを満たす。
• 有界なp-variation（p < 2）を持つ関数に対して左および右ヤング積分が存在し、適切に定義されており、経路に沿った微積分が可能である。
• 積分のλ-積分と拡張されたドレアン指数が構築され、拡張された線形λ-積分方程式の解法が可能である。
• 進化的アセットプライシングモデルが提案され、株価経路がλ-積分でモデル化され、経路に沿ったオプションプライシングとヘッジが可能になる。
• p-variation指数は標本経路から推定可能であり、モデルは連続時間ダイナミクスを離散時間スキームでほとんど確実に近似可能である。