[論文レビュー] Quadratic Wasserstein metrics for von Neumann algebras via transport plans

Rocco Duvenhage|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、トミタ＝タケサキ理論と双モジュールの相対的テンソル積を活用して、フォン・ノイマン代数の忠実な正規状態の空間に、輸送計画を用いた2次 Wasserstein 距離のクラスを確立する。主な貢献は、代数が有限生成である場合に $ W_2(\mu,\nu) = 0 $ ならば $ \mu = \nu $ が成り立つことを示したことであり、距離が真の距離関数であることを保証する。これは、非可換最適輸送において、従来の輸送計画的手法が距離関数を導けなかった長年の問題を解決する。

ABSTRACT

We show how one can obtain a class of quadratic Wasserstein metrics, that is to say, Wasserstein metrics of order 2, on the set of faithful normal states of a von Neumann algebra $A$, via transport plans, rather than through a dynamical approach. Two key points to make this work, are a suitable formulation of the cost of transport arising from Tomita-Takesaki theory and relative tensor products of bimodules (or correspondences in the sense of Connes). The triangle inequality, symmetry and $W_{2}(μ,μ)=0$ all work quite generally, but to show that $W_{2}(μ,ν)=0$ implies $μ=ν$, we need to assume that $A$ is finitely generated.

研究の動機と目的

• 動的定式化ではなく輸送計画を用いて、古典的2次 Wasserstein 距離の非可換類似を構築すること。
• 従来の非可換輸送計画手法では $ W_2(\mu,\mu) \neq 0 $ となるため、真の距離関数を導けなかった問題を解決すること。
• $ W_2(\mu,\nu) = 0 $ ならば $ \mu = \nu $ が成り立つ条件を確立し、距離が真の距離関数であることを保証すること。
• トミタ＝タケサキ理論と双モジュールの相対的テンソル積（コンヌの対応）を、輸送のコストを定義する基盤的ツールとして組み込むこと。
• 非忠実状態への拡張および無限または非有界生成元への一般化を検討すること。

提案手法

• トミタ＝タケサキ理論からのモジュラー作用素 $ S_\nu $ を用いて、状態 $ \mu $ と $ \nu $ 間の輸送のコストを $ c = \sum_{l=1}^n |k_l \otimes 1 - 1 \otimes (S_\nu k_l^* S_\nu)|^2 $ で定義する。
• 双モジュールの相対的テンソル積（コンヌの対応）を用いて、輸送計画の背後にある代数的構造の循環的表現を構成する。
• 輸送計画 $ \omega $ に対して、古典的 $ L^2 $ コストを一般化したエネルギー関数 $ I(\omega) = \| \pi_\mu^\omega(k^\zeta)\Omega - \pi_\nu^\omega(k^\eta)\Omega \|_{\oplus \omega}^2 $ を定義する。
• 条件付き期待値と相対的に独立な結合を用いて輸送計画を構成し、特に $ \omega = \delta_\nu \circ (E \odot \text{id}_{A'}) $ の形（$ \mu \circ E = \mu $ を満たす条件付き期待値 $ E $）を用いる。
• 背後の双モジュール表現の構造とモジュラー自己同型群を用いて、三角不等式と対称性を証明する。
• フォン・ノイマン代数 $ A $ が有限生成であるという仮定の下で、$ W_2(\mu,\nu) = 0 \Rightarrow \mu = \nu $ を、条件付き期待値の一意性と状態の忠実性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輸送計画を用いて、すべての距離公理（特に $ W_2(\mu,\nu) = 0 \Rightarrow \mu = \nu $）を満たす非可換2次 Wasserstein 距離を構築可能か？
• RQ2 トミタ＝タケサキ理論とコンヌの対応を用いて、非可換輸送に物理的に意味のあるコスト関数を定義する方法は何か？
• RQ3 従来の非可換確率論における輸送計画的手法がなぜ真の距離関数を導けなかったのか。これを是正するための構造的仮定は何か？
• RQ4 フォン・ノイマン代数の有限生成性が、距離性質 $ W_2(\mu,\nu) = 0 \Rightarrow \mu = \nu $ を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 この枠組みを非忠実状態や非有界生成元に一般化可能か。その場合、距離構造にどのような影響があるか？

主な発見

• 提案された Wasserstein 距離 $ W_2 $ は、すべての忠実な正規状態に対して三角不等式と対称性を満たす。
• すべての忠実な正規状態 $ \mu $ に対して $ W_2(\mu,\mu) = 0 $ が成り立つ。これは距離関数としての要件を満たす。
• 主な結果は、$ W_2(\mu,\nu) = 0 \Rightarrow \mu = \nu $ が成り立つのは、フォン・ノイマン代数 $ A $ が有限生成である場合に限ることである。
• コスト関数はトミタ＝タケサキ理論からのモジュラー作用素 $ S_\nu $ を用いて定義され、非可換性を尊重した状態依存的な形を取る。
• 条件付き期待値 $ E $ を用いて $ \mu \circ E = \mu $ を満たす輸送計画 $ \omega $ を構成可能であり、$ \mu|_F = \nu|_F $ ならば $ I(\omega) = 0 $ となり、$ W_2(\mu,\nu) = 0 $ を示す。
• 非忠実状態に対しては、補助射影への制限により擬距離 $ \rho $ を定義できるが、$ \rho(\zeta,\eta) = 0 $ であっても $ \zeta \neq \eta $ となる場合があるため、忠実性がなければ距離性質が成立しない。