[論文レビュー] Quadratic Zonotopes - An Extension of Zonotopes to Quadratic Arithmetics

Assalé Adjé, Pierre-Loïc Garoche+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Numerical Methods and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、浮動小数点計算の静的解析における精度を向上させるために、2次誤差項（ǫiǫj）を組み込んだアフィンゾノトープの拡張である2次ゾノトープを導入する。半正定値計画法（SDP）を用いた区間射影により、特に乗算や超越関数などの非線形関数に対して、区間やアフィンゾノトープよりもタイトな境界を達成し、誤差項の数に対して2次的な計算量を維持する。

ABSTRACT

Affine forms are a common way to represent convex sets of $\mathbb{R}$ using a base of error terms $\epsilon \in [-1, 1]^m$. Quadratic forms are an extension of affine forms enabling the use of quadratic error terms $\epsilon_i \epsilon_j$. In static analysis, the zonotope domain, a relational abstract domain based on affine forms has been used in a wide set of settings, e.g. set-based simulation for hybrid systems, or floating point analysis, providing relational abstraction of functions with a cost linear in the number of errors terms. In this paper, we propose a quadratic version of zonotopes. We also present a new algorithm based on semi-definite programming to project a quadratic zonotope, and therefore quadratic forms, to intervals. All presented material has been implemented and applied on representative examples.

研究の動機と目的

• 非線形浮動小数点計算における精度を向上させるために、ゾノトープ的抽象ドメインを2次算術を扱えるように拡張すること。
• 半正定値計画法（SDP）を用いた射影アルゴリズムを開発し、2次形式の区間上界をタイトに計算すること。
• 代表的なベンチマーク（超越関数や反復関数を含む）に対して、標準的な抽象ドメイン（区間やアフィンゾノトープ）と比較して、新規ドメインの評価を行うこと。
• 2次ゾノトープが、計算量の管理が可能な範囲で、アフィン抽象や区間抽象を上回る精度を示すことを実証すること。
• 2次ゾノトープが、負の誤差項の積を含む性質を扱うのに適した非凸的かつ非対称な代数的ドメインとしての可能性を検討すること。

提案手法

• 2次形式に基づく2次ゾノトープドメインを提案。アフィン形式を拡張し、ǫiǫj 項および追加の誤差記号 ǫ⁺, ǫ⁻, ǫ± を含む。
• 2次形式の具体化を、誤差空間 Cm における形式の像として定義。境界を求めるために定義域上で最小値・最大値を計算し、区間境界を導出する。
• 絶対値と符号に配慮した境界に基づく安全な上界近似（MT法）を導入。それに加え、半正定値計画法（SDP）ソルバを用いたよりタイトな代替手法を提示。
• 誤差項の数に対して2次的な計算量を維持する加法、符号反転、スカラー乗算、乗算の算術演算子を設計。
• 区間から2次形式への逆抽象写像を実装。これにより、抽象解釈フレームワークへの統合が可能になる。
• APRONライブラリにドメインを統合。SDPソルバ（CSDP, Mosek）を用いて高精度な区間射影を実行。性能コストを管理するためのオプション有効化を備える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形関数（乗算や超越関数など）に対して、2次ゾノトープはアフィンゾノトープや区間よりも顕著にタイトな区間上界近似を提供できるか？
• RQ2 計算コストが高いために、半正定値計画法（SDP）を用いた区間射影が、標準的なMT上界近似法よりも意味的な精度向上をもたらすか？
• RQ3 ループや条件分岐を含むベンチマークにおいて、2次ゾノトープドメインはT1Pドメイン（線形制約付きアフィンゾノトープ）と比較して、精度と性能の両面で優れているか？
• RQ4 2次ゾノトープの幾何的具体化は非凸的かつ非対称的であり、符号依存の誤差伝搬などの特定のプログラム動作のモデリングに有効であるか？
• RQ5 2次ゾノトープは2次テイラー抽象化として実用的であり得るか？また、分枝限定法などの精度向上技術とどのように統合できるか？

主な発見

• 入力 x ∈ [-1, 1] の arctan 関数に対して、2次ゾノトープは [-1.002866, 1.002866] の境界を生成。これは区間やアフィンゾノトープ（両者とも [-1.919149, 1.919149]）よりも顕著にタイトであり、アフィン制約付きゾノトープ（[-1.349407, 1.349407]）よりも優れている。
• 同じ関数で x ∈ [-10, 10] の場合、2次ゾノトープは [-1.597501, 1.591769] の境界を達成。区間やアフィンゾノトープを上回り、T1Pドメインの精度に近づいている。
• A ∈ [16, 20] の 1/√A を求めるハウスホルダー反復において、2次ゾノトープは、区間、アフィンゾノトープ、さらにはT1Pドメインに対しても優れた収束性と低い全誤差を示しており、特に反復回数が増えるほど顕著である。
• SDPに基づく射影法はMT法よりもタイトな上界近似を提供するが、計算コストが高いため、精度と性能のバランスを取るために選択的に有効化可能である。
• SDPに基づく具体化のコストが高かろうとも、実用的には良好なスケーラビリティを示し、特に多項式および非線形計算において顕著に効果的である。
• 2次ゾノトープドメインは、非線形演算においてアフィンゾノトープや区間を上回る精度を示しており、非凸的かつ非対称な具体化の性質は、負の誤差項の積を含む性質のモデリングを支援する可能性がある。