[論文レビュー] Quadrupolar gravitational fields described by the $q-$metric

Hernando Quevedo, Saken Toktarbay+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、独立した質量と四極モーメントを持つ静的・非球対称なコンパクト物体の外部重力場の記述として、$q$-メトリックを提案する。シンゲの手法を用いて、外部解に裸の特異性を伴うが、物理的に妥当な内部解を導出し、エネルギー条件および境界一致条件が数値的に満たされることを示した。これにより、外部解に裸の特異性が存在するにもかかわらず、完全な時空記述が可能となる。

ABSTRACT

We investigate the Zipoy-Voorhees metric ($q-$metric) as the simplest static, axially symmetric solution of Einstein's vacuum field equations that possesses as independent parameters the mass and the quadrupole moment. In accordance with the black holes uniqueness theorems, the presence of the quadrupole completely changes the geometric properties of the corresponding spacetime that turns out to contain naked singularities for all possible values of the quadrupole parameter. The naked singularities, however, can be covered by interior solutions that correspond to perfect fluid sources with no specific equations of state. We conclude that the $q-$metric can be used to describe the entire spacetime generated by static deformed compact objects.

研究の動機と目的

• 外部解としての$q$-メトリックを、独立した質量と四極モーメントを持つ静的・非球対称な質量分布の重力場として再解釈すること。
• 非ゼロの四極モーメントを持つ$q$-メトリックが裸の特異性を示すにもかかわらず、物理的に妥当な内部解がその外部解に一致可能かどうかを調査すること。
• 特定の状態方程式を仮定せずに、内部メトリックを仮定し、アインシュタイン方程式を用いて対応するエネルギー運動量テンソルを導出するシンゲの手法を適用すること。
• 得られた物質分布がエネルギー条件および境界での一致条件を満たすかどうかを検証すること。

提案手法

• $q$-メトリックは、シュヴァルツシルト解に適用したジポイ・ヴォールヘス変換の極限として導出され、四極パラメータ$q$を独立パラメータとして持つ。
• 外部$q$-メトリックは等方的座標系で表現され、$q$に関して一次の摂動形に展開され、境界一致に適した形となる。
• 等方的座標系における球対称な内部メトリックのアンサンブルを仮定し、物質源として完全流体を記述するためのメトリック関数$\mu(r)$、$\alpha(r)$、$\beta(r,\theta)$を導入する。
• 内部メトリックからアインシュタインテンソルを計算し、アインシュタイン方程式を用いてエネルギー運動量テンソルを導出し、物理的整合性の分析を可能にする。
• 半径$r = r_m$における境界で、第一基本形式の連続性およびメトリック成分の整合性を要求する境界一致条件を課す。
• エネルギー条件（$T^t_t \geq 0$、$T^t_t - T^r_r \geq 0$）および境界条件を適用し、解空間を制約する。数値解析により、物理的妥当な解が存在することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの四極モーメントを持つ静的・軸対称な時空を記述する$q$-メトリックが、非球対称なコンパクト物体の物理的妥当な内部解と一致可能か？
• RQ2 内部メトリックを仮定し、対応するエネルギー運動量テンソルを導出するシンゲの手法が、エネルギー条件および境界制約を満たす物質分布を生成するか？
• RQ3 $q$-メトリックの裸の特異性が、特定の状態方程式を仮定せずに、現実的な流体源によって隠蔽可能となる数学的・物理的条件は何か？
• RQ4 物理的制約の下で、特に小規模な$q$の極限において、内部メトリック関数の微分方程式系が数値的または解析的に解けるか？
• RQ5 得られた内部解が、コンパクトで非球対称な物体におけるエネルギー密度および圧力の期待される挙動と整合的か？

主な発見

• $q$-メトリックは、四極パラメータ$q$がゼロでない限り、常に裸の特異性を有するが、$q=0$のシュヴァルツシルト極限では事象の地平面が形成される。
• 特異性は原点付近に局在しており、天体的コンパクト物体ではシュヴァルツシルト半径と同程度の半径領域内に存在する。
• シンゲの手法を用いることで、境界$r = r_m$で外部$q$-メトリックと一致する物理的に妥当な内部メトリックが構築された。第一基本形式の連続性が満たされた。
• エネルギー条件$T^t_t \geq 0$および$T^t_t - T^r_r \geq 0$が、導出された物質分布と整合することが確認され、物理的に妥当なエネルギー運動量テンソルであることが示された。
• 数値解析により、境界一致条件およびエネルギー条件を同時に満たす解が存在することが確認され、圧力およびエネルギー密度の分布が物理的期待と整合的であることが示された。
• 内部メトリック関数の微分方程式系は整合的であり、小規模な$q$の極限において解析的解が得られる可能性を示しており、わずかに非球対称な源に対する正確な解への道筋が示唆される。