[論文レビュー] Quadrupole Insulator without Corner States in the Energy Spectrum

Yu-Liang Tao, Jiong-Hao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2023

Topological Materials and Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非ゼロの四極モーメントを示すが、トポロジカル保護にもかかわらずエネルギー準位にゼロエネルギーのコーナー状態を欠く、新しい2次元四極モーメント絶縁体相を提示する。主な発見は、バルク-エッジ対応の破綻である。エネルギー準位ではコーナーモードが消失するが、ハミルトニアンのフラット化に伴うエッジギャップの閉じにより、エンタングルメント準位にそれらが頑健に現れる。これは、高次トポロジカル相においてトポロジカル不変量が主にエンタングルメント準位に現れることを示している。

ABSTRACT

The quadrupole insulator is a well-known instance of higher-order topological insulators in two dimensions, which possesses midgap corner states in both the energy spectrum and entanglement spectrum. Here, by constructing and exploring a model Hamiltonian under a staggered $\mathbb{Z}_2$ gauge field that respects momentum-glide reflection symmetries, we surprisingly find a quadrupole insulator that lacks zero-energy corner modes in its energy spectrum, despite possessing a nonzero quadrupole moment. Remarkably, the existence of midgap corner modes is found in the entanglement spectrum. Since these midgap states cannot be continuously eliminated, the quadrupole insulator cannot be continuously transformed into a trivial topological insulator, thereby confirming its topological nature. We show that the breakdown of the correspondence between the energy spectrum and entanglement spectrum occurs due to the closure of the edge energy gap when the Hamiltonian is flattened. Finally, we present a model that demonstrates an insulator with corner modes in the energy spectrum even in the absence of the quadrupole moment. In this phase, the entanglement spectrum does not display any midgap states. The results suggest that the bulk-edge correspondence of quadrupole insulators generally manifests in the entanglement spectrum rather than the energy spectrum.

研究の動機と目的

• 対称性保護下における高次トポロジカル絶縁体のコーナー状態の頑健性を調査すること。
• 非自明なトポロジカル不変量を持つ四極モーメント絶縁体におけるエネルギー準位とエンタングルメント準位の関係を調査すること。
• エネルギー準位とエンタングルメント準位の従来の対応関係が、トポロジカル相においてどのように破綻するかの条件を特定すること。
• 標準的期待とは対照的に、エネルギー準位に中間状態が存在しない状況でも四極モーメントが維持されることを示し、コーナー状態の出現を挑戦すること。
• ハミルトニアンのフラット化に伴うエッジギャップの閉じが、異なる準位におけるトポロジカルモードの出現に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 運動量鏡映対称性を保つステアッタード Z₂ ゲージ場を有する2次元タイトバインディングモデルの構築。
• 粒子のサブラットスと軌道自由度を表すパウリ行列 τ と σ を用いた運動量空間におけるブロウー・ハミルトニアンの使用。
• ウィルスンループ形式を用いて四極モーメント qxy を計算し、トポロジカル相を同定。
• 開境界条件下でのエネルギー準位の解析により、ゼロエネルギーのコーナー状態の有無を検出。
• 1/4系の分割における単粒子相関行列 CA から導かれる縮約密度行列 ρA を用いたエンタングルメント準位の計算。
• 占有状態への射影演算子 P_occ を用いて H_flat = ½ - P_occ で定義されるフラット化ハミルトニアンのエネルギー準位とエンタングルメント準位の1対1対応の確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの四極モーメントを有するがエネルギー準位にゼロエネルギーのコーナー状態を欠く四極モーメント絶縁体が存在し得るか？
• RQ2 エネルギー準位に存在しないにもかかわらず、なぜエンタングルメント準位に中間状態が現れるのか？
• RQ3 ハミルトニアンのフラット化に伴うエッジギャップの閉じが、エネルギー準位とエンタングルメント準位の対応関係を破壊する役割を果たすのか？
• RQ4 エネルギー準位に反映されない状況で、エンタングルメント準位がどのようにトポロジカル不変量を反映するのか？
• RQ5 エネルギー準位にコーナーモードが存在しないがエンタングルメント準位にそれらが存在するトポロジカル相が存在しうるか。その意味はバルク-エッジ対応にどのような示唆をもたらすか？

主な発見

• 非ゼロの四極モーメント qxy = 0.5 を有する四極モーメント絶縁体相が同定され、エネルギー準位にゼロエネルギーのコーナー状態が存在しないにもかかわらず、そのトポロジカル性が確認された。
• 中間状態がエンタングルメント準位に頑健に現れる。これは、トポロジカル不変量がエネルギー準位ではなくエンタングルメント構造に符号化されていることを示している。
• 対応の破綻は、ハミルトニアンのフラット化に伴うエッジエネルギーギャップの閉じに起因する。これにより、エネルギー準位ではコーナー状態が消失するが、バルクの四極モーメントは変わらず保たれる。
• エンタングルメント準位がフラット化ハミルトニアンのエネルギー準位を直接反映することが示され、関係式 H_flat^T = ½ - C_A を通じて1対1対応が確立された。
• 四極モーメントがゼロの補足的モデルでは、エネルギー準位にコーナー状態が現れるがエンタングルメント準位にはそれらが存在しない。これにより、スペクトルのサインチャの非対称性が確認された。
• 結果として、高次トポロジカル絶縁体において、特にエッジギャップが閉じる状況では、エンタングルメント準位がエネルギー準位よりもトポロジカル秩序のより信頼できる指標であることが示された。