[論文レビュー] Qualitative analysis of dynamic equations on time scales

Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、均一分散とワイエルシュトラスM検定を用いて、時刻スケール上の動的方程式について、ピカード＝リンデルフォルトの定理の確立および$\epsilon$-近似解の存在を示している。解の一意性にはリプシッツ条件が不要であることを証明し、遅れ付き動的方程式の区分的定数引数近似において指数的安定性が保たれることを示している。

ABSTRACT

In this article, we establish the Picard-Lindelof theorem and approximating results for dynamic equations on time scale. We present a simple proof for the existence and uniqueness of the solution. The proof is produced by using convergence and Weierstrass M-test. Furthermore, we show that the Lispchitz condition is not necessary for uniqueness. The existence of epsilon-approximate solution is established under suitable assumptions. Moreover, we study the approximate solution of the dynamic equation with delay by studying the solution of the corresponding dynamic equation with piecewise constant argument. We show that the exponential stability is preserved in such approximations.

研究の動機と目的

• rd連続性と均一分散を用いて、時刻スケール上の動的方程式に対するピカード＝リンデルフォルトの定理を確立すること。
• 解の一意性にリプシッツ条件が不要であることを示すこと。
• 適切な仮定の下で$\epsilon$-近似解の存在を証明すること。
• 区分的定数引数モデルを用いて、遅れ付き半線形動的方程式の近似解を分析すること。
• 元の系の指数的安定性が、区分的定数引数による近似過程でも保たれることを示すこと。

提案手法

• ピカード反復の均一分散を確立するためにワイエルシュトラスM検定を用いる。
• 時刻スケール上でのデルタ微分およびデルタ積分の枠組みを用いて、動的方程式を定義する。
• 遅れ付き動的方程式をモデル化するために、区分的定数引数近似を導入する。
• 正確解と近似解の間の誤差を抑え込むために、グロンウォール＝ベルマン型の不等式を用いる。
• 時刻スケール上の指数関数$e_p(t,t_0)$を用いて安定性の性質を分析する。
• $\gamma_h(t)$を離散化作用素として定義し、系内の遅れ状態を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ条件を要しないで、時刻スケール上の動的方程式に対してピカード＝リンデルフォルトの定理を確立できるか？
• RQ2 時刻スケール上の動的方程式に対して、どのような条件下で$\epsilon$-近似解が存在するか？
• RQ3 区分的定数引数を用いた遅れ付き動的方程式の近似において、指数的安定性はどのように保たれるか？
• RQ4 ピカード反復の収束と時刻スケール上での解の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 遅れ付き動的方程式の定性的な挙動は、区分的定数引数を持つ系によって効果的に近似可能か？

主な発見

• リプシッツ条件を要しないで、均一分散とワイエルシュトラスM検定を用いて、時刻スケール上の動的方程式に対するピカード＝リンデルフォルトの定理が証明された。
• rd連続性および関数$f$の有界性を含む適切な仮定の下で、$\epsilon$-近似解の存在が確立された。
• 遅れ付き動的方程式の区分的定数引数モデルによる近似において、零解の指数的安定性が保たれた。
• 正確解$y(\phi)(t)$と近似解$z_h(t)$との間の誤差は、$v(0)$、最大偏差$w(y,h,2\tau)$、および$M^*$を含む積分項を含む式によって上限が与えられ、その上限は指数的に減少する。
• $h \to 0$のとき、近似誤差は0に近づき、$\lambda_0 = \lambda - e^{\lambda(2h+\tau)}L > 0$のとき、系は指数的に安定のままである。
• 証明により$\|E_h(t)\| \leq v(t) \leq \left(v(0) + \cdots \right) e_{-\lambda_0}(t,0)$が示され、近似解の漸近的安定性が示唆される。