[論文レビュー] Qualitative Analysis of Polycycles in Filippov Systems

Kamila da S. Andrade, Otávio M. L. Gomide+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、特異点と正則軌道からなる閉曲線であるポリサイクルの概念を、スイッチング多様体上に不連続性を有するフィリッポフ系に拡張する。不連続性境界近くでのポリサイクルのアンフォールディングを分析する手法を開発し、それを用いて分岐図を導出し、区分的滑らかでない力学系における最小集合付近での構造的変化の仕組みを明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned about the qualitative behaviour of planar Filippov systems around some typical minimal sets, namely, polycycles. In the smooth context, a polycycle is a simple closed curve composed by a collection of singularities and regular orbits, inducing a first return map. Here, this concept is extended to Filippov systems by allowing typical singularities lying on the switching manifold. Our main goal consists in developing a method to investigate the unfolding of polycycles in Filippov systems. In addition, we applied this method to describe bifurcation diagrams of Filippov systems around certain polycycles.

研究の動機と目的

• 滑らかでない力学系におけるポリサイクルの古典的定義を、特異点がスイッチング多様体上に位置するフィリッポフ系に拡張すること。
• 区分的滑らかでない平面系におけるポリサイクルのアンフォールディングを分析する体系的な手法を開発すること。
• 特定のポリサイクルの周囲で分岐図を構築するためにその手法を適用し、系のダイナミクスにおける遷移を明らかにすること。

提案手法

• フィリッポフ系におけるスイッチング多様体上に位置する典型的な特異点を含めるようにポリサイクルの定義を拡張すること。
• フィリッポフ系に適応された最初の帰還写像の概念を用いて、ポリサイクル周辺のダイナミクスを分析すること。
• 区分的滑らかでない力学系理論の技術を用いて、ポリサイクルの構造的安定性とアンフォールディングを研究すること。
• パラメータ変化に伴うポリサイクルの位相的構造の変化を追跡することで、分岐図を構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続性がスイッチング多様体上に存在するフィリッポフ系に対して、ポリサイクルの概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 フィリッポフ系において、小さなパラメータ摂動がポリサイクルのアンフォールディングをどのように引き起こすかのメカニズムは何か。
• RQ3 区分的滑らかでない系において、ポリサイクル付近のダイナミクスにどのように分岐が現れるか。

主な発見

• 特異点をスイッチング多様体上に組み込むことで、本論文はポリサイクルをフィリッポフ系に成功して一般化した。これにより、不連続ダイナミクスにおける最小集合の解析が可能になった。
• ポリサイクルのアンフォールディングを分析するための新規な手法が開発され、区分的滑らかでない系における局所的分岐を分析するフレームワークが提供された。
• この手法により、ポリサイクル周辺での系の挙動の遷移を記述する詳細な分岐図の構築が可能になった。
• 本アプローチにより、不連続性誘発分岐がポリサイクルの位相的構造からどのように生じるかが明らかになり、区分的滑らかでない系における複雑なダイナミクスの理解が深まった。