[論文レビュー] Qualitative Behaviour of Solutions for the Two-Phase Navier-Stokes Equations with Surface Tension

Matthias Köhne, Jan Pruess+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$L_p$-設定とハンザワ変換を用いた直接写像法を用いて、有界領域における表面張力付き二相不圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の局所的適切性および長期的安定性を確立する。また、特異点を生じないグローバル解がエネルギー汎関数および一般化された線形化安定性原理を用いて、平衡状態に収束することを示している。平衡状態の集合は$(n+1)$次元の多様体をなす。

ABSTRACT

The two-phase free boundary value problem for the isothermal Navier-Stokes system is studied for general bounded geometries in absence of phase transitions, external forces and boundary contacts. It is shown that the problem is well-posed in an Lp-setting, and that it generates a local semiflow on the induced phase manifold. If the phases are connected, the set of equilibria of the system forms a (n+1)-dimensional manifold, each equilibrium is stable, and it is shown that global solutions which do not develop singularities converge to an equilibrium as time goes to infinity. The latter is proved by means of the energy functional combined with the generalized principle of linearized stability.

研究の動機と目的

• 一般の有界領域における表面張力付き二相ナビエ＝ストークス系の局所的適切性を確立すること。
• 自由界面によって誘導される非線形位相多様体上での問題が局所的半フローを生成することを示すこと。
• 各相が連結である場合、平衡状態の集合が$(n+1)$次元の多様体をなすことの特徴づけ。
• 特異点を生じないグローバル解が$t \to \infty$のとき平衡状態に収束することの証明。
• エネルギー汎関数および一般化された線形化安定性原理を用いて平衡状態の安定性を確立すること。

提案手法

• ラグランジュ座標を用いずに、自由界面問題を扱うために直接写像法とハンザワ変換を採用すること。
• 線形化問題を$L_p$-設定で解析し、最大正則性推定を得ること。
• 実補間および摂動論を用いて、$W_p^{2+s}(\Omega\setminus\Gamma)$における解の高階正則性を確立すること。
• 一般化された線形化安定性原理を適用して、解の長期的挙動を分析すること。
• エネルギー汎関数を用いて、グローバル解が平衡状態に収束することを証明すること。
• 線形問題の詳細な解析を通じて、$t > 0$で界面および解が瞬時に実解析的になることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面張力付き二相ナビエ＝ストークス系は、一般の有界領域において局所的に適切か？
• RQ2 この系は、自由界面によって誘導される位相多様体上での局所的半フローを生成するか？
• RQ3 平衡状態の集合の構造は何か？ そして、それらは安定か？
• RQ4 特異点を避けるグローバル解は、$t \to \infty$のとき平衡状態に収束するか？
• RQ5 一般化された線形化安定性原理を用いて、平衡状態への収束を証明できるか？

主な発見

• 表面張力付き二相ナビエ＝ストークス系は、一般の有界領域において$L_p$-設定で局所的に適切である。
• 問題は、自由界面によって誘導される非線形位相多様体上での局所的半フローを生成する。
• 各相が連結である場合、平衡状態の集合は$(n+1)$次元の多様体をなし、それぞれが安定である。
• 特異点を生じないグローバル解は、$t \to \infty$のとき平衡状態に収束する。
• 収束は、エネルギー汎関数と一般化された線形化安定性原理の組み合わせによって証明された。
• 解および界面は、$t > 0$で瞬時に実解析的になる。