[論文レビュー] Qualitative properties and existence of sign changing solutions with compact support for an equation with a p-Laplace operator

Jean Dolbeault, Marta García‐Huidobro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、位相平面における漸近的ハミルトニアン系とシューティング法を組み合わせることで、p-ラプラシアン方程式に対して、任意の所定の数の節点をもつ、コンパクトな台を持つ径数的符号変化解の存在を確立する。任意の k ∈ ℕ に対して、正確に k 個の節点をもつ解が存在することを証明し、エネルギーおよび非線形性に基づく、台の大きさに関する明示的な推定値を提供する。条件は (p)-超線形かつ臨界的でないものとする。

ABSTRACT

We consider radial solutions of an elliptic equation involving the p-Laplace operator and prove by a shooting method the existence of compactly supported solutions with any prescribed number of nodes. The method is based on a change of variables in the phase plane corresponding to an asymptotic Hamiltonian system and provides qualitative properties of the solutions.

研究の動機と目的

• p-ラプラシアン方程式に対して、任意の所定の数の節点をもつ、コンパクトな台を持つ径数的符号変化解の存在を確立すること。
• 一般化極座標を用いた位相平面におけるシューティング法を用いて、解の定性的な挙動を分析すること。
• 非線形性 f およびパラメータ λ = u(0) に基づいて、台の大きさに関する鋭い推定値を提供すること。
• (p)-超線形かつ臨界的でない成長条件の下で、コンパクトな台の原理を節点解（符号変化解）へ拡張すること。
• シューティングパラメータ λ における節点数の依存関係を特徴づけ、変化が連続的な変化においては、高々1つずつ変化することを示すこと。

提案手法

• 一般化極座標を用いて、径数的 p-ラプラシアン方程式を位相平面における1階系に変換する。
• 初期値 λ = u(0) を変化させることでシューティング法を適用し、解の符号変化回数（節点数）を制御する。
• 高エネルギー領域における解の長期的挙動を記述するために、漸近的ハミルトニアン系を用いる。
• エネルギー法およびラプラシアン型推定を用いて、解の減衰をバウンドし、台の半径を特定する。
• 変数変換を用いて、位相平面における回転数と径数的解における節点数の関係を結びつける。
• サウダーの不動点定理およびアスコリ＝アルツェラのコンパクト性を用いて、解の局所的存在および延長可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-ラプラシアン方程式が、所定の数の節点をもつ符号変化解とコンパクトな台を持つための条件は何か？
• RQ2 シューティング法における初期値 λ = u(0) が、解の節点数にどのように依存するか？
• RQ3 台の大きさが非線形性 f およびパラメータ λ にどのように依存するか？
• RQ4 コンパクトな台の原理は、どのように節点解へ拡張可能であり、エネルギー関数 F(u) はこの文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 位相平面における解軌道のどの定性的特徴が、節点挙動およびコンパクトな台に対応するか？

主な発見

• 任意の k ∈ ℕ に対して、p-ラプラシアン方程式の径数的解で、正確に k 個の節点をもち、台がコンパクトであるものが存在する。
• 台の大きさは下界 r_λ(0) ≥ C (λ^{N(p−1)/(N−p)} / f(λ))^{(N−p)/(p(N−1))} を満たし、λ および f への明示的依存関係を示す。
• シューティングパラメータ λ を連続的に変化させると、節点数は高々1つずつ変化する。
• 仮定 (H3) の下で、コンパクトな台の原理が成立する。これは鋭いものである： |F(u)|^{−1/p} が 0 の近傍で局所的可積分でない場合、コンパクトな台を持つ解は存在しない。
• 位相平面における漸近的ハミルトニアン系により、回転数を用いたノード解の正確な数え上げが可能である。
• 仮定 (H1)–(H2) の下で、初期値問題の解の存在および一意性が保証され、F の二重零点または局所的最大値に達するまで一意性が保たれる。