[論文レビュー] Qualitative properties of spatial epidemiological models

Romain Ducasse|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、放物型偏微分方程式で記述される空間的に明示的で拡散的であるSIRモデルを分析し、疫病が拡散する条件を特定する。感染率、回復率、人口の拡散係数を含む閾値基準を確立し、個人の移動性を低下させることで逆説的に疫病が発生することを示している。これは、空間的に不均一な状況下で移動と感染拡大の間に非単調な関係が存在することを示唆している。

ABSTRACT

We study the qualitative properties of a spatial diffusive heterogeneous SIR model, that appears in mathematical epidemiology to describe the spread of an infectious disease in a population. The model we consider consists in a system of parabolic PDEs. In the first part of the paper, we give a criterion that ensures whether or not an epidemic propagates in a given population. We show how the features of the disease and of the population (rates of infection and of recovery, localisation and diffusivity of individuals) influence the propagation of the epidemic. In particular, we prove that there are situations where "slowing down" the individuals can trigger an epidemic that would not propagate otherwise. In the second part of the paper, we show how the spatial diffusive SIR model qualitatively differs from the usual, purely temporal, SIR model.

研究の動機と目的

• 空間的に不均一で、放物型偏微分方程式に従う拡散的SIRモデルにおける疫病拡散の十分条件を特定すること。
• 感染率、回復率といった疾患パラメータと、人口の移動性（拡散係数）が疫病の結果に与える影響を調査すること。
• 個人の移動を遅くすること（すなわち、拡散係数を低下させること）が、そうでない場合に比べて疫病を誘発する条件を同定すること。
• 空間的PDEモデルと古典的時系列ODE SIRモデルの間の定性的な挙動の違いを比較すること。
• 初期条件および拡散条件のさまざまな条件下で、解の長期間挙動および収束性を確立すること。

提案手法

• 拡散項（d_S, d_I）と非線形感染項（αSI）を含む、感受性（S）および感染性（I）集団の放物型PDE系を定式化する。
• 領域の境界で個人の反射ブラウン運動をモデル化するため、ノイマン境界条件を適用する。
• 解の有界性と収束速度を制御するため、放物型比較原理と正則性推定を適用する。
• ラプラシアンの第一非ゼロ固有値ρ₁を用いたスペクトル理論を用い、勾配項に関するエネルギー型推定を導出する。
• 長期間挙動および漸近的極限を分析するため、リャプノフ型汎関数と積分恒等式を用いる。
• 初期感染密度 → 0 の極限解析を実施し、空間的PDEモデルと古典的ODE SIRモデルを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域とノイマン境界条件を伴う空間的に不均一な拡散的SIRモデルにおいて、どのような条件下で疫病が拡散するか？
• RQ2 感受性および感染性個体の拡散係数が、疫病拡散の閾値にどのように影響するか？
• RQ3 個人の移動性を低下させること（すなわち、拡散係数を減少させること）が、そうでない場合に比べて疫病の拡散を引き起こす可能性があるか？
• RQ4 長期間のダイナミクスという観点から、空間的PDEモデルは古典的時系列ODE SIRモデルとどのような点で定性的に異なるか？
• RQ5 初期感染が小さい極限において、空間的モデルにおける感受性集団の漸近的挙動は何か？ また、ODEモデルと比較するとどうなるか？

主な発見

• 疫病が拡散するための条件は、基本再生産数$ R_0 = \frac{\bar{\rho} \tilde{S}_0}{\bar{\rho} \tilde{S}_0 + \tilde{\rho} \tilde{I}_0} > 1$ が成り立つ場合である。ここで$ \bar{\rho} $は平均感染率、$ \tilde{S}_0, \tilde{I}_0 $は初期人口密度を表す。
• 拡散係数$ d_S $および$ d_I $を低下させることで、より移動性の高い集団では拡散しない疫病が、逆に拡散するパラメータ領域が存在する。
• 初期感染が小さいとき、空間的PDEモデルにおける感受性集団の長期間極限は、対応するODEモデルの極限と一致する。
• 初期感染強度がゼロに近づくにつれて、勾配項$ |\nabla S|^2 $および$ |\nabla I|^2 $は空間的に一様にゼロに収束し、空間的均一化が生じることを示している。
• PDEモデルにおける漸近的感受性集団は、$ f(S_\text{infty}) = f(S_0) + \frac{\nu}{\nu} \fint I_0 $ を満たし、初期感染が消滅する極限においてODEモデルの長期挙動と一致する。
• 疫病拡散の閾値は拡散係数に対して単調でない。移動性を低下させることで有効再生産数が上昇し、結果として拡散が可能になることがある。