[論文レビュー] Quantale-valued Approach Spaces via Closure and Convergence

Hongliang Lai, Walter Tholen|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉包と超フィルター収束を用いて、量値付きのアプローチ空間を導入し、量値の半順序 V が完全分配的であるとき、V-閉包空間と V-アプローチ空間の間の同値性を確立する。これは、V=2 のときの位相空間、V=[0,∞] のときの距離的アプローチ空間、V=∆ のときの確率的アプローチ空間に対する既知の結果を一般化し、ラックス分配法則とベース変換函手を用いて、それらのカテゴリカル構造と代数的構造を統一する。

ABSTRACT

For a quantale $\mathsf{V}$ we introduce $\mathsf{V}$-approach spaces via $\mathsf{V}$-valued point-set-distance functions and, when $\mathsf{V}$ is completely distributive, characterize them in terms of both, so-called closure towers and ultrafilter convergence relations. When $\mathsf{V}$ is the two-element chain $\mathsf{2}$, the extended real half-line $[0,\infty]$, or the quantale ${\bfΔ}$ of distance distribution functions, the general setting produces known and new results on topological spaces, approach spaces, and the only recently considered probabilistic approach spaces, as well as on their functorial interactions with each other.

研究の動機と目的

• 量値付きの半順序を用いたアプローチ空間の統一的枠組みを構築し、古典的な位相的および距離的概念を拡張すること。
• 量値の半順序 V が完全分配的であるとき、V-アプローチ空間を閉包塔と超フィルター収束関係の両方で特徴付けること。
• V-アプローチ空間と超フィルターモノイドと V-巾集合モノイドのラックス代数の間のカテゴリカル同値を確立すること。
• 既知の位相的・距離的・確率的アプローチ空間に関する結果を、単一の量値付き形式主義に一般化すること。
• ベース変換函手とそれらが Top を App や ProbApp に埋め込む際の役割を研究すること。

提案手法

• 量値付きの点集合距離関数 δ: X × PX → V を用いて V-アプローチ空間を定義し、Lawvere の距離とLowen のアプローチ空間の公理を一般化する公理を満たす。
• 反射性と推移性を満たす閉包塔 c: PX → VX を用いて V-アプローチ空間を特徴付ける。これは、位相空間における閉包作用素の一般化である。
• 超フィルターモノイド U と V-巾集合モノイド PV の間のラックス分配法則 β: U ∘ PV ⇒ PV ∘ U を用い、ラックス (U, V)-代数の構成を可能にする。
• 文献[19]のラックス代数と代数的函手の理論を適用し、V が完全分配的であるとき、V-アプローチ空間がラックス (U, V)-代数と同値であることを示す。
• 量値の半順序準同型 ϕ: V → W を用いたベース変換函手を用い、App や ProbApp のような異なる V-アプローチ空間のカテゴリを関連付ける。
• 量値の半順序の随伴対（例：ι: 2 → V、σ: [0,∞] → ∆）を用いて、Bϕ 函手を介して Top から App および App から ProbApp への埋め込みを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、位相的・距離的・確率的構造を統一する量値付きの設定におけるアプローチ空間を一般化できるか？
• RQ2 量値の半順序 V にどのような条件を課すと、V-アプローチ空間が閉包塔と超フィルター収束によって同値に記述可能になるか？
• RQ3 ベース変換函手は、Top や App、ProbApp のような異なる V-アプローチ空間のカテゴリをどのように関連付けるか？
• RQ4 ラックス分配法則は、モノイド (U, P) と量値の半順序 (V) を結びつけて、アプローチ空間のラックス代数を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ5 Top から App および App から ProbApp への埋め込みを、同一のカテゴリカルな道具立てを用いて一貫して導出できるか？

主な発見

• 任意の完全分配的量値の半順序 V に対して、V-アプローチ空間はラックス (U, V)-代数と同値であり、超フィルター収束を介した統一的特徴付けが得られる。
• V = ∆（距離分布関数の量値の半順序）のとき、本論文は確率的アプローチ空間の新たな特徴付けを超フィルター収束を用いて確立し、既知の結果を拡張する。
• V が整域的であるとき、カテゴリ Top は App に完全かつ忠実に埋め込まれ、反射的およびコリフレクティブな部分カテゴリをなす。コリフレクターは Bπ、リフレクターは Bo である。
• App は ProbApp に完全かつ忠実に埋め込まれ、反射的およびコリフレクティブな部分カテゴリをなす。リフレクターは Bλ、コリフレクターは Bρ であり、量値の準同型 σ: [0,∞] → ∆ から導出される。
• V = [0,∞] のとき、本研究の結果は、古典的な点集合距離関数と超フィルター収束の間の同値性を回復する。
• 随伴対となる量値の準同型（例：ι: 2 → V、σ: [0,∞] → ∆）を用いた Bϕ-函手の構成により、異なるアプローチ空間のカテゴリを一貫して関連付ける体系的な方法が得られる。