[論文レビュー] Quantified block gluing, aperiodicity and entropy of multidimensional SFT

Silvère Gangloff, Mathieu Sablik|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、関数 f(n) を用いたギャップ関数を伴うブロック接着の概念を導入し、2次元の有限型サブシフト（Z²-SFT）における非周期性とエントロピーに与える影響を分析する。線形的ブロック接着を持つSFTが非周期的になり得ること、およびすべての非負の Π₁-計算可能エントロピーを実現できることを証明し、トランスティーブSFTのエントロピーに関する未解決問題を解決する。構成では、制御された情報伝達と誤り信号伝播を模倣する構造的でDNAに類似した細胞単位を用いて計算を埋め込む。

ABSTRACT

It is possible to define mixing properties for subshifts according to the intensity which allows to concatenate two rectangular blocks. We study the interplay between this intensity and computational properties. In particular we prove that there exists linearly block gluing subshift of finite type which are aperiodic and that all right-recursively enumerable positive number can be realized as entropy of linearly block gluing Z 2-subshift of finite type. Like linearly block gluing imply transitivity, this last point answer a question asked in [HM10] about the characterization of the entropy of transitive subshift of finite type.

研究の動機と目的

• f(n) を伴うギャップ関数によるブロック接着がZ²-SFTに課す力学的および計算可能性的制約を理解すること。
• 混合的性質に類似した性質を持つ線形的ブロック接着SFTが非周期的になり得るかを調査し、混合的性質が計算普遍性を制限するとの仮定に挑戦すること。
• f-ブロック接着SFTの可能なエントロピーの集合を特定すること、特に線形ギャップ領域において。
• 非対数的と線形ギャップ関数の境界について、周期性、決定可能性、エントロピーの計算可能性の観点から検討すること。

提案手法

• f(n) を伴うギャップ関数によるf-ブロック接着の概念を導入し、サイズnの2つのブロックがf(n)のギャップをあけて接合可能であることを定義する。
• 構造的安定性と制御された情報伝播を保証するため、ロビンソンサブシフトの剛体化版を基本構造として用いる。
• 『核』（中心データ保存領域）、『壁』、『サイトプラズム』、『レティクル』層を有する細胞自動機に類似した構成を採用し、計算をシミュレートする。
• 細胞間での誤り信号通信を用いて行動を調整し、情報伝達を実現し、分子生物学のメカニズムを模倣する。
• パターン拡張と制御された色分け、カウンター位置を用いた普遍計算ユニットを構築し、チューリング計算をシミュレートする。
• パターン拡張の帰納的バウンディングを用いて、有効な配置の数を数えることでエントロピーの上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f(n) ∈ O(n) であるf-ブロック接着SFTは、混合的性質に類似しているにもかかわらず、非周期的になり得るか？
• RQ2 f(n) が線形である場合、f-ブロック接着SFTの可能なエントロピーの集合は何か？
• RQ3 ギャップ関数 f(n) が言語の決定可能性および周期的点の密度に与える影響は何か？
• RQ4 f-ブロック接着SFTのエントロピーは、すべての非負のΠ₁-計算可能な数を実現可能か？
• RQ5 ブロック接着構成と分子生物学的システムとの間には、どのような構造的類似性が存在するか？

主な発見

• f(n) ∈ O(n) である非周期的f-ブロック接着SFTが存在することを示し、線形的ブロック接着が非周期性を排除しないことを実証した。
• f(n) ∈ o(log n) かつ f ≤ id であるf-ブロック接着SFTの言語は決定可能であり、エントロピーも計算可能である。
• すべての非負のΠ₁-計算可能な実数が、線形的ブロック接着を持つZ²-SFTのエントロピーとして実現可能であり、[HM10]で提起された疑問に答えている。
• f(n) ∈ O(n) の場合、f-ブロック接着SFTの可能なエントロピーの集合は、正確に右再帰的可算な非負の実数の集合に一致する。
• 構成におけるkr-ブロックの有効な拡張の数は 3(r+1)^k+9 で有界であり、再帰的数え上げを用いてエントロピーを推定可能である。
• 構成されたSFTのエントロピーは h(d(r)_A(Z)) = h(Z) + log₂(1 + r)/r を満たし、構造的複雑性に伴い制御された加法的増加を示している。