[論文レビュー] Quantifying nonstabilizerness of matrix product states

Tobias Haug, Lorenzo Piroli|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2022

Quantum many-body systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、行列積状態（MPS）における非安定化度（または「魔法」）の測度である安定化子Rényiエントロピー（SRE）を効率的に計算する手法を提案する。SREを結合次元を増加させたMPSのノルムに写像することで、Nに線形かつχに多項式のスケーリングで計算可能となり、イジング鎖のような量子多体系における魔法の高精度で大規模なシミュレーションが可能になる。特に臨界点付近では、局所基底に依存した非単調な振るまいが観察される。

ABSTRACT

Nonstabilizerness, also known as magic, quantifies the number of non-Clifford operations needed in order to prepare a quantum state. As typical measures either involve minimization procedures or a computational cost exponential in the number of qubits $N$, it is notoriously hard to characterize for many-body states. In this work, we show that nonstabilizerness, as quantified by the recently introduced Stabilizer Rényi Entropies (SREs), can be computed efficiently for matrix product states (MPSs). Specifically, given an MPS of bond dimension $χ$ and integer Rényi index $n>1$, we show that the SRE can be expressed in terms of the norm of an MPS with bond dimension $χ^{2n}$. For translation-invariant states, this allows us to extract it from a single tensor, the transfer matrix, while for generic MPSs this construction yields a computational cost linear in $N$ and polynomial in $χ$. We exploit this observation to revisit the study of ground-state nonstabilizerness in the quantum Ising chain, providing accurate numerical results up to large system sizes. We analyze the SRE near criticality and investigate its dependence on the local computational basis, showing that it is in general not maximal at the critical point.

研究の動機と目的

• 多数体量子状態における非安定化度の計算を効率的に行う手法を開発すること。通常、これはNの指数的スケーリングのため計算が困難である。
• 行列積状態（MPS）のような一般の多数体状態に対して、魔法の定量的指標である安定化子Rényiエントロピー（SRE）を計算する課題に対処すること。
• 正確な数値的解析を可能にし、正確対角化では到達できない拡張された量子系（例えば量子イジング鎖）の基底状態における魔法の研究を可能にすること。
• 魔法の振る舞いが局所計算基底にどのように依存するか、特に量子臨界点付近での挙動を調査すること。

提案手法

• n次のSREはすべてのパウリストリングの和として表現され、結合次元χ^{2n}を持つMPSのノルムに再定式化される。
• 並進不変MPSの場合、SREは転送行列の主要固有値から抽出可能であり、1つのテンソルでの計算が可能になる。
• 一般のMPSの場合、SREは系サイズNに線形スケーリング、結合次元χに多項式スケーリングで実行可能なテンソルネットワークの縮約により計算される。
• スパースな変換行列Qを用いて、MPS転送行列の対称テンソル積を効率的に計算し、完全な行列の構築を回避する。
• この手法はレプリカ法と縮約恒等式を活用し、SREをノルム計算に写像することで、効率的な数値評価を可能にする。
• 数値的妥当性は、小規模系に対してSREの結果を正確対角化と比較し、結合次元χの増加に伴う収束性を評価することで検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合次元χとRényi指数n > 1のMPSに対して、SREはNの指数的スケーリングなしに効率的に計算可能か？
• RQ2 量子イジング鎖の基底状態における非安定化度（魔法）は、臨界点付近で非単調な振るまいを示すか？
• RQ3 SREは局所計算基底の選択にどのように依存するか、特に量子相転移付近でどうなるか？
• RQ4 SRE密度と補正項が、局所基底に依存しない形で量子臨界性を診断できるか？
• RQ5 SREの補正項c_Nの極値は臨界点付近で対数的に発散し、熱力学的極限で臨界場に収束するか？

主な発見

• 結合次元χとRényi指数n > 1のMPSにおけるSREは、系サイズNに線形、結合次元χに多項式のコストで計算可能であり、大規模なシミュレーションが可能になる。
• 並進不変MPSの場合、SREは転送行列の主要固有値から抽出可能であり、1つのテンソルによる評価が可能になる。
• イジング模型の数値結果では、SRE密度mと補正項c_Nが結合次元χの増加に伴い収束し、誤差が指数的に減少することが確認された。
• すべての局所基底においてSRE密度D_Nが臨界場h_cでピークを示すわけではないため、一般には臨界点で魔法が最大になるとは限らない。
• 補正項c_Nはh_c付近で極値を示し、系サイズNに伴い対数的に発散する傾向を示しており、臨界性の診断と整合的である。
• c_Nの極値場h₀(N)の多項式フィットから、熱力学的極限でh_c = 1に収束することが示され、これが相転移の検出に有効であることが確認された。