[論文レビュー] Quantifying wall turbulence via a symmetry approach. Part I. A Lie group theory

Zhen-Su She, Xi Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リー群理論を用いた対称性に基づく新規アプローチを提案し、壁流れ乱流における平均速度プロファイルの解析的表現を導出する。壁の効果を表す拡大群に不変な順序関数（例：応力長さ）を同定することで、3種類の不変解（累乗則、欠損累乗則、遷移スケーリング）を導出し、3つの主要パラメータ（スケーリング指数、層厚さ、遷移の鋭さ）を用いて、全領域を統一的・多層的に記述可能である。この理論はDNSデータによって検証されている。

ABSTRACT

First principle based prediction of mean flow quantities of wall-bounded turbulent flows (channel, pipe, and turbulent boundary layer - TBL) is of great importance from both physics and engineering standpoints. Here (Part I), we present a symmetry-based approach which derives analytic expressions governing the mean velocity profile (MVP) from an innovative Lie-group analysis. The new approach begins by identifying a set of order functions (e.g. stress length, shear-induced eddy length), in analogy with the order parameter in Landau's mean-field theory, which aims at capturing symmetry aspects of the fluctuations (e.g. Reynolds stress, dissipation). The order functions are assumed to satisfy a dilation group invariance - representing the effects of the wall on fluctuations - which allows us to postulate three new kinds of invariant solutions of the mean momentum equation (MME), focusing on group invariants of the order functions (rather than those of the mean velocity as done in previous studies). The first - a power law solution - gives functional forms for the viscous sublayer, the buffer layer, the log-layer, and a newly identified central `core' (for channel and pipe, but non-existent for TBL). The second - a defect power law of form $1-r^{m}$ ($r$ being the distance from the center line) - describes the `bulk zone' (the region of balance between production and dissipation). The third - a relation between the group invariants of the stress length function and its first derivative - describes scaling transition between adjacent layers. A combination of these three expressions yields a multi-layer formula covering the entire flow domain, identifying three important parameters: scaling exponent, layer thickness, and transition sharpness. All three kinds of invariant solutions are validated, individually and in combination, by data from direct numerical simulations (DNS).

研究の動機と目的

• 壁流れ乱流における平均流の量を予測する第一原理理論を構築し、経験的モデルへの依存を回避すること。
• 乱流における平均量の空間的分布を支配する非平衡物理的原理を同定すること。
• 粘性サブレイヤー、バッファレイヤー、対数則領域、コア領域（チャネル・パイプ内）、バッフルゾーンを、対称性に基づく不変量を用いて統一的に記述すること。
• 提案された不変解を、複数の流れ形状における直接数値シミュレーション（DNS）データと照合して検証すること。
• 今後続くパートにおいて、粗さ、圧力勾配、圧縮性といった複雑な効果のモデリングの基盤を確立すること。

提案手法

• 乱流揺らぎの対称性を捉えるために、ランドーの秩序パラメータに類似した順序関数（例：応力長さ、せん断誘発渦長さ）を導入する。
• リー群解析を用いて、これらの順序関数に拡大群の不変性が存在することを同定し、壁が乱流に与える影響を表現する。
• 群の不変量から3種類の不変解を導出する：(1) 粘性サブレイヤー、バッファレイヤー、対数則領域、およびチャネル・パイプ流れで新たに同定されたコア領域に適した累乗則；(2) バッフルゾーンに適した形 $1 - r^m$ の欠損累乗則；(3) 応力長さ関数とその1階微分の群不変量の関係によるスケーリング遷移の記述。
• 3つの不変解を組み合わせることで、スケーリング指数、層厚さ、遷移の鋭さをパラメータとする多層的解析式を構築する。
• 拡張された特徴方程式と無限小生成子を用いて、元となる偏微分方程式から対称変換および群不変量を体系的に導出する。
• チャネル・パイプ流れの高精度な直接数値シミュレーション（DNS）データを用いて、各不変解を個別および統合的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群理論を用いた対称性に基づくアプローチは、経験的仮定に依存せずに、壁流れ乱流における平均速度プロファイルの解析的表現を導けるか？
• RQ2 乱流揺らぎの順序関数における拡大群不変性から導かれる基本的不変解は何か？
• RQ3 導出された不変解（累乗則、欠損累乗則、遷移関係）は、全領域にわたり壁流れ乱流の多層的構造をどのように記述できるか？
• RQ4 これらの不変解を組み合わせることで、広範なレイノルズ数および流れ形状において平均速度プロファイルを正確に再現できるか？
• RQ5 応力長さ関数とその導関数の群不変量は、隣接する乱流層間の遷移をモデル化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 対称性に基づくアプローチにより、3種類の明確な不変解が得られた：粘性サブレイヤー、バッファレイヤー、対数則領域、およびチャネル・パイプ流れで新たに同定されたコア領域に適した累乗則。
• 形 $1 - r^m$ の欠損累乗則が、乱流生成と散逸がバランスするバッフルゾーンを正確に記述する。
• 隣接する層間の遷移は、応力長さ関数とその1階微分の群不変量の関係によって支配され、スケーリング遷移の精密なモデル化が可能である。
• 3つの不変解を統合することで、スケーリング指数、層厚さ、遷移の鋭さという3つの主要パラメータを用いて、全領域をカバーする包括的な多層式が得られた。
• 3つの不変解は個別および統合的に直接数値シミュレーション（DNS）データを用いて検証され、その正確性と一貫性が確認された。
• 理論により、0.45の普遍的バッフルフロー定数が特定可能であり、高レイノルズ数において真のカラマン定数に漸近することが、シリーズの第II部で示されている。