[論文レビュー] Quantile and Probability Curves Without Crossing

Victor Chernozhukov, Iván Fernández‐Val+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Apr 27, 2007

Statistical Methods and Inference被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、推定された条件付きおよび構造的分位数関数における分位数の交差を解消するための単調再配分法を提案する。単調性は、経験的推定値をソートすることで保証される。この手法は有限標本における推定精度を向上させ、関数的極限定理を確立し、全分位数曲線およびその機能的関数に対する有効なブートストラップ推論を可能にする。

ABSTRACT

This paper proposes a method to address the longstanding problem of lack of monotonicity in estimation of conditional and structural quantile functions, also known as the quantile crossing problem. The method consists in sorting or monotone rearranging the original estimated non-monotone curve into a monotone rearranged curve. We show that the rearranged curve is closer to the true quantile curve in finite samples than the original curve, establish a functional delta method for rearrangement-related operators, and derive functional limit theory for the entire rearranged curve and its functionals. We also establish validity of the bootstrap for estimating the limit law of the the entire rearranged curve and its functionals. Our limit results are generic in that they apply to every estimator of a monotone econometric function, provided that the estimator satisfies a functional central limit theorem and the function satisfies some smoothness conditions. Consequently, our results apply to estimation of other econometric functions with monotonicity restrictions, such as demand, production, distribution, and structural distribution functions. We illustrate the results with an application to estimation of structural quantile functions using data on Vietnam veteran status and earnings.

研究の動機と目的

• 推定された条件付きおよび構造的分位数関数における非単調性（分位数交差）という長年の問題に取り組む。
• パラメトリック仮定に依存せずに推定された分位数曲線の単調性を強制する手法を開発する。
• 再配分による単調性の強制によって、分位数関数推定量の有限標本における精度を向上させる。
• 全再配分済み分位数曲線およびその機能的関数に対する関数的極限定理およびブートストラップの有効性を確立する。
• 需要関数、生産関数、分布関数など、単調性制約を課す他の経済推計関数への適用可能性を拡張する。

提案手法

• 非単調な経験的分位数曲線を単調再配分（ソート）することで、単調な推定値を生成する。
• 関数的デルタ法を用いて、再配分済み曲線およびその機能的関数の漸近的分布理論を導出する。
• 一般な条件下で、元の推定量に対して再配分済み曲線の関数的中心極限定理を適用する。
• 全再配分済み曲線の漸近的分布推定に対するブートストラップの有効性を確立する。
• 単調性を強制するために、アイソトニゼーション（隣接する違反を統合するアルゴリズム）を計算的ツールとして利用する。
• 理論的導出において、Fubiniの定理および優越収束定理を用いて積分および極限の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限的なパラメトリックモデルを課さずに、推定された条件付き分位数関数における非単調性をどのように是正できるか？
• RQ2 非単調な分位数推定値に単調再配分を適用した際の、有限標本における精度向上はどの程度か？
• RQ3 関数的デルタ法を用いて、全再配分済み分位数曲線の極限定理を導出できるか？
• RQ4 全再配分済み分位数曲線およびその機能的関数に対するブートストラップは有効か？
• RQ5 理論的結果は、分位数回帰を越えて、需要関数、生産関数、分布関数などの他の単調経済推計関数へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 有限標本において、単調再配分済み曲線は元の非単調推定値よりも真の分位数曲線に近い。
• 全再配分済み分位数曲線に対して関数的極限定理が確立され、確率インデックス全体にわたる同時推論が可能になる。
• 全再配分済み曲線およびその機能的関数の漸近的分布推定に対するブートストラップは有効である。
• 理論的結果は汎用的であり、関数的中心極限定理および滑らかさの条件を満たす任意の推定量に適用可能である。
• 本手法は、需要関数、生産関数、分布関数、構造的分布関数など、広範な単調経済推計関数に適用可能である。
• 本手法はRパッケージ「quantreg」（Koenker, 2007）に実装されており、実用的統合と有用性が確認されている。