[論文レビュー] Quantiles Equivariance

Reza Hosseini|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2010

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、増加変換の下で分位関数が等変性を示すという広く信じられている考えを挑戦し、厳密に増加する関数ですら成り立たない反例を提示する。左連続非減少変換の下で左分位関数が等変性を示すことを確立し、対称性定理を用いて右分位関数および減少変換についても類似の結果を導出する。また、点ごとの発散が生じる可能性があるものの、変換された分位関数は確率的に同等のままであることを示す。

ABSTRACT

It is widely claimed that the quantile function is equivariant under increasing transformations. We show by a counterexample that this is not true (even for strictly increasing transformations). However, we show that the quantile function is equivariant under left continuous increasing transformations. We also provide an equivariance relation for continuous decreasing transformations. In the case that the transformation is not continuous, we show that while the transformed quantile at p can be arbitrarily far from the quantile of the transformed at p (in terms of absolute difference), the probability mass between the two is zero. We also show by an example that weighted definition of the median is not equivariant under even strictly increasing continuous transformations.

研究の動機と目的

• 単調変換の下で分位関数が等変性を示すという一般的な主張に反論すること。
• 特に変換の連続性および単調性に関する正確な条件下で分位関数の等変性が成立する条件を同定すること。
• 連続的かつ厳密に増加する変換の下で、加重分位関数（例：中央値）の定義に生じる矛盾を解消すること。
• 非連続および減少変換の下での分位関数の等変性に関する理論的枠組みを確立すること。

提案手法

• 左分位関数 $ lq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) \geq p\} $ および右分位関数 $ rq_X(p) = \inf\{x \mid F(x) > p\} $ を双対的定義として用いる。
• 変換下での分位値の一意性および性質を証明するために、分位値基準補題を適用する。
• 変換下での逆像の挙動を分析するために、$ \phi^\leq(y) = \{x \mid \phi(x) \leq y\} $ および $ \phi^\star(y) = \sup \phi^\leq(y) $ を導入する。
• 左連続非減少 $ \phi $ に対して $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $ が成り立つことを証明する。また、右連続 $ \phi $ に対して $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $ が成り立つことを示す。
• 分位関数対称性定理 $ lq_X(p) = -rq_{-X}(1-p) $ を用いて、非増加変換の下での等変性を導出する。
• 非連続な場合を分析する際、$ \phi(lq_X(p)) \in [lq_Y(p), rq_Y(p)] $ であることを示し、点ごとの発散が生じる可能性があるものの、確率質量の差はゼロであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的に主張されているように、分位関数は厳密に増加する変換の下でも本当に等変性を示すのか？
• RQ2 どのような変換 $ \phi $ の条件下で $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $ が成り立つか？
• RQ3 非連続または非連続な変換の下で、分位関数の等変性はどのように振る舞うか？
• RQ4 減少変換に対しても等変性が保たれる可能性はあるか？ もしそうなら、どのような連続性の仮定が必要か？
• RQ5 変換 $ \phi $ が非連続な場合、$ \phi(lq_X(p)) $ と $ lq_{\phi(X)}(p) $ の間の確率的関係は何か？

主な発見

• 反例により、厳密に増加する変換ですら分位関数の等変性を保証しないことが示された：$ X \sim U[0,1] $ に対して、$ \phi(x) = x $（$ x < 1/2 $ 時）、$ \phi(x) = x+5 $（$ x \geq 1/2 $ 時）とすると、$ lq_T(1/2) = 1/2 \neq \phi(1/2) = 5.5 $ となる。
• 左連続非減少変換の下で、左分位関数は等変性を示す：$ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(p)) $。
• 右連続非減少変換の下で、右分位関数は等変性を示す：$ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(p)) $。
• 非増加かつ右連続な $ \phi $ に対しては $ lq_{\phi(X)}(p) = \phi(rq_X(1-p)) $、非増加かつ左連続な $ \phi $ に対しては $ rq_{\phi(X)}(p) = \phi(lq_X(1-p)) $ が成り立つ。
• 変換 $ \phi $ が非連続な場合、$ \phi(lq_X(p)) $ と $ lq_{\phi(X)}(p) $ は同じ区間 $ [lq_Y(p), rq_Y(p)] $ 内にあり、したがってそれらの間の確率質量の差はゼロである。
• 加重中央値（例：中央の2値の平均）の定義は、連続的かつ厳密に増加する変換の下で等変性を示さない。地震の強度データを用いた反例によりこれを示した。