[論文レビュー] Quantitative approximation of the Burgers and Keller-Segel equations by moderately interacting particles

Christian Olivera, Alexandre Richard+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

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ひとこと要約

本稿は、特異的で局所的に可積分でないカーネルを有する粘性バーガース方程式およびケラー＝セゲル方程式を近似する確率的粒子系に対して、定量的な収束速度を確立する。滑らか化された経験的測度と弱解の定式化を用いて、バーガース方程式では $N^{-1/6}$ 階の収束速度、ケラー＝セゲル方程式では $N^{-1/(2(d+1))}$ 階の収束速度で、確率的収束をボーレル空間および $L^q$ 空間で示し、これはPDEの最大存在時刻まで有効である。

ABSTRACT

In this work we obtain rates of convergence for two moderately interacting stochastic particle systems with singular kernels associated to the viscous Burgers and Keller-Segel equations. The main novelty of this work is to consider a non-locally integrable kernel. Namely for the viscous Burgers equation in $\mathbb{R}$, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some Bessel space with a rate of convergence of order $N^{-1/6}$, on any time interval. With the same rate, convergence also holds for the genuine empirical measure in Wasserstein distance, and at the level of the trajectories of the particles with the standard coupling to McKean-Vlasov particles. In the case of the Keller-Segel equation on a $d$-dimensional torus, we obtain almost sure convergence of the mollified empirical measure to the solution of the PDE in some $L^q$ space with a rate of order $N^{-\frac{1}{2(d+1)}}$. The result holds up to the maximal existence time of the PDE, for any value of the chemo-attractant sensitivity $χ$.

研究の動機と目的

• 特異的で局所的に可積分でない相互作用カーネルを有する中程度に相互作用する粒子系が、粘性バーガース方程式およびケラー＝セゲル方程式を近似する際の定量的収束速度を提供すること。
• 滑らか化された経験的測度がボーレル空間および $L^q$ 空間でPDE解に確率的収束することを確立し、明示的な収束速度を示すこと。
• 滑らか化および非滑らか化された両方の経験的測度の収束を分析し、マクレイン＝フラスォフ過程へのカップリングを通じて粒子の軌道を含むこと。
• 弱解の定式化における非線形性と確率的畳み込み積分の困難を、ビハリーの不等式およびBDG型推定を用いて克服すること。
• i.i.d.標本による初期密度の近似をボーレルノルムで定量化し、独立に有用な一般結果を提供すること。

提案手法

• 相互作用カーネル $K$ を用いて粒子系を確率的微分方程式として定式化し、スケーリング $V^N(x) = N^{d\alpha}V(N^\alpha x)$ を用いて $\alpha \in (0,1]$ の範囲で滑らか化カーネル $V^N$ を導入する。
• PDEの弱解の定式化を用いて、解を半群の進化と非線形・確率的畳み込み項の和として表現する。
• 差 $u - u^N$ の非線形二次項を制御するためビハリーの不等式を適用し、確率的時間領域の問題にもかかわらず、時間全域での収束を可能にする。
• 無限次元マルティングルのBDG不等式（補題A.3）を用いて、ボーレル空間 $H^\beta_p$ における確率的畳み込み積分の上界を求める。
• 誤差をバイアス（滑らか化）とバリアンス（経験的測度の揺らぎ）に分解し、それぞれを畳み込み不等式とモーメントの有界性を用いて推定する。
• ソボレフ埋め込みおよび空間におけるホルダー連続性を活用し、$N$ に依存しない一様な正則性 $u^N$ を保証し、収束解析に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラックカーネルを有する粘性バーガース方程式を近似する中程度に相互作用する粒子系の滑らか化された経験的測度の最適収束速度は何か？
• RQ2 非滑らか化された経験的測度についても、ウォッシャー形式距離で同じ収束速度が達成可能か？ また、これは粒子の軌道に拡張可能か？
• RQ3 トーラス上でのケラー＝セゲルモデルにおいて、次元 $d$ とカーネルの特異性が収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 ボーレルノルムにおける初期条件近似の収束速度は最適か？ また、全体の粒子系収束にどのように影響するか？
• RQ5 大きな化学求心性感受性 $\chi$ に対しても、ドリフトにカットオフを適用しないで収束を確立できるか？

主な発見

• $\mathbb{R}$ 上の粘性バーガース方程式に対して、滑らか化された経験的測度 $u^N$ は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$[0,T]$ 上で一様に時間に依存しない $H^\beta_p(\mathbb{R})$ 空間でPDE解 $u$ に確率的収束を示し、収束速度は $N^{-1/6 + \varepsilon}$ である。
• 非滑らか化された経験的測度 $\mu^N$ に対しても、ウォッシャー形式距離で同じ収束速度 $N^{-1/6 + \varepsilon}$ が成立し、定量的混沌の伝搬が確立される。
• 粒子系がマクレイン＝フラスォフ過程に軌道的収束することを確立し、パス空間における経験的測度の収束を示す。
• トーラス $\mathbb{T}^d$ 上のケラー＝セゲル方程式（$d \geq 2$）に対して、滑らか化された経験的測度は $L^q(\mathbb{T}^d)$ で確率的収束を示し、収束速度は $N^{-1/(2(d+1)) + \varepsilon}$ である。これはPDEの最大存在時刻まで有効である。
• 収束速度 $N^{-1/(2(d+1))}$ は既知の結果と一致するが、ドリフトカットオフを一切用いず達成されており、初期条件近似の速度が弱い条件下で $N^{-1/(2(d+1))}$ 以上であることが示された。
• 付録Bで一般結果が得られた：密度 $u_0$ とそのi.i.d.標本に基づく滑らか化された経験的測度との間のボーレルノルム誤差の $m$ 次モーメントは、$N^{-\alpha(\beta' - \beta)} + N^{\alpha\beta + d\alpha(1 - 2/m) - 1/2}$ で有界であり、ボーレルノルムにおける密度近似を定量化する。