[論文レビュー] Quantitative Bounded Distance Theorem and Margulis' Lemma for Z^n actions with applications to homology

Filippo Cerocchi, Andrea Sambusetti|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、測地的空間上のℤⁿ作用における有界距離定理の定量的版を確立し、内在的距離と安定ノルムの差が、ランクn、商空間の直径、漸近的体積にのみ依存する定数によって有界であることを証明する。本稿はℤⁿ作用における定量的マーガリス型補題を導入し、安定サイクルと漸近的体積の間の最適な推定値を提供し、これらの結果を、リーマン多様体における最適整数1次サイクルの連結成分の数を評価することに応用する。

ABSTRACT

We consider the stable norm associated to a discrete, torsionless abelian group of isometries $Γ\cong \mathbb{Z}^n$ of a geodesic space $(X,d)$. We show that the difference between the stable norm $\| \;\, \|_{st}$ and the distance $d$ is bounded by a constant only depending on the rank $n$ and on upper bounds for the diameter of $\bar X=Γ\backslash X$ and the asymptotic volume $ω(Γ, d)$. We also prove that the upper bound on the asymptotic volume is equivalent to a lower bound for the stable systole of the action of $Γ$ on $(X,d)$; for this, we establish a Lemma à la Margulis for $\mathbb{Z}^n$-actions, which gives optimal estimates of $ω(Γ,d)$ in terms of $\mathrm{stsys}(Γ,d)$, and vice versa, and characterize the cases of equality. Moreover, we show that all the parameters $n, \mathrm{diam}(\bar X)$ and $ω(Γ, d)$ (or $\mathrm{stsys} (Γ,d)$) are necessary to bound the difference $d -\| \;\, \|_{st}$, by providing explicit counterexamples for each case. As an application, we prove that the number of connected components of any optimal, integral $1$-cycle in a closed Riemannian manifold $\bar X$ either is bounded by an explicit function of the first Betti number, $ \mathrm{diam}(\bar X)$ and $ω(H_1(\bar X, \mathbb{Z}), d)$, or is a sublinear function of the mass.

研究の動機と目的

• 測地的空間上のℤⁿ作用における内在的距離と安定ノルムの差に対する定量的推定を、ランク、商空間の直径、漸近的体積にのみ依存する形で提供すること。
• ℤⁿ作用におけるマーガリスの補題の定量的版を確立し、安定サイクルと漸近的体積の間の最適な関係を特徴づけること。
• 3つの不変量（ランク、直径、漸近的体積）が、距離と安定ノルムの差を有界化するために必要であることを、明示的な反例を用いて示すこと。
• 結果をリーマン幾何に応用し、特に閉多様体における最適整数1次サイクルの連結成分の数を、第一ベッチ数、直径、ホモロジー格子の漸近的体積に基づいて評価すること。

提案手法

• 群作用によるスケーリングされた距離の極限としてℤⁿ上の安定ノルムを定義する：‖γ‖_st = lim_{k→∞} d(x₀, γᵏx₀)/k。
• 漸近的体積ω(Γ,d)を、距離R以内の群元の数の増加率として定義し、商空間における体積成長と関連付ける。
• n個の線形独立な等長変換によって生成される有限指数部分群ℤⁿ ⊂ Γを用いて、ℝⁿと軌道空間の間の準等長写像を構成する。
• 商空間のコダイアメータ（ΓackslashXの直径）と漸近的体積ω(Γ,d)の境界を用いて、これらの写像の歪みを制御する。
• 漸近的コーンにおけるパッキングおよび被覆の議論を用いて、ホモロジー格子における球およびアニュラスの濃度を推定する。
• 安定ノルムと安定サイクルを用いた明示的な成長推定を導出し、最適サイクルの成分数に対する境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤⁿ作用における内在的距離と安定ノルムの差は、幾何的不変量にどのように定量的に依存するか？
• RQ2 ℤⁿ作用における安定サイクルと漸近的体積の間の最適な関係は何か？また、等号が成立するのはいつか？
• RQ3 ランク、コダイアメータ、漸近的体積という3つの不変量が、距離と安定ノルムの差を有界化するために必要であるか？
• RQ4 閉リーマン多様体における最適整数1次サイクルの連結成分の数は、第一ベッチ数、直径、ホモロジー格子の漸近的体積に基づいて評価可能か？
• RQ5 ホモロジー格子H₁(𝑋,ℤ)におけるアニュラスの正確な成長率は、安定ノルムと質量ノルムに関してどのようになるか？

主な発見

• 内在的距離と安定ノルムの差 |d(x₀, γx₀) − ‖γ‖_st| は、定数c(n, D, Ω)によって有界であり、ここでDは商Γ\backslashXの直径、Ωは漸近的体積ω(Γ,d)の上界である。
• 漸近的体積ω(Γ,d)は安定サイクルの下界に等価であり、ℤⁿ作用における定量的マーガリス補題によって最適な推定値が与えられる。
• 本稿は、ランクn、コダイアメータD、漸近的体積Ωの3つのパrameterが、距離と安定ノルムの差を有界化するために必要であることを示す明示的反例を構成する。
• ホモロジー格子におけるアニュラスの成長は、nω(Γ,d)Δ(R−Δ)^{n−1} ≤ v_{(Γ,|·|_{H₁})}(R−Δ,R+Δ) ≤ 3nω(Γ,d)Δ(R−3Δ)^{n−1} で抑えられ、ここでR ≥ 0、Δ ≥ 4nD + c である。
• 任意の最適整数1次サイクルγについて、連結成分の数N(γ)は、n、D、ω(Γ,d)の明示的関数によって有界であるか、または質量ℓ(γ)に関して部分線形的に増加し、具体的には N(γ) ≤ 3^{2n} ⋅ (1 + 1/n)^n ⋅ ω(Γ,d)^{1/(n+1)} ⋅ ℓ(γ)^{n/(n+1)} が成り立つ。
• 安定サイクルと漸近的体積は、ω(Γ,d) ≥ C_n ⋅ (stsys(Γ,d))^{-n} で関係づけられ、等号が成り立つのは、定量的マーガリス補題で特徴づけられる幾何的意味で極値な作用である場合に限る。